Gratis
Simulacre d'Examen MA #3 — Oposicions Secundària Catalunya 2026
- Durada
- 4 hores 30 minuts
- Estructura
- A 70% · B 30%
- Nota d'aprovat
- 5
Prova Pràctica — Resolució de Problemes
Resolgui TOTS els problemes següents. Justifiqui tots els passos del raonament.
Es valorarà: rigor matemàtic, claredat en l'exposició, varietat de mètodes i
interpretació dels resultats.
12.5 punts
Divisibilitat i congruències· Teoria de Nombres i Aritmètica
a) Demostreu que per a tot enter n ≥ 1, n⁵ - n és divisible per 30. (0,75 punts)
b) Trobeu el residu de dividir 7^2026 entre 100. (0,5 punts)
c) Resoleu el sistema de congruències lineals: (0,75 punts)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 7)
d) Demostreu que hi ha infinits nombres primers de la forma 4k + 3. (0,5 punts)
Rúbrica de correcció
- Demostració divisibilitat per 30: 0,75 pts
- Residu potència mod 100: 0,5 pts
- Teorema Xinès dels Residus: 0,75 pts
- Demostració primers 4k+3: 0,5 pts
22.5 punts
Recomptes i distribucions· Combinatòria i Probabilitat Discreta
a) De quantes maneres es poden distribuir 10 boles idèntiques en 4 capses
diferents si cada capsa ha de tenir almenys una bola? (0,5 punts)
b) Quants enters positius menors que 1000 no són divisibles ni per 3, ni per 5,
ni per 7? (0,75 punts)
c) Demostreu la identitat combinatòria: (0,5 punts)
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2ⁿ
d) Una urna conté 5 boles vermelles i 3 boles blanques. S'extreuen 4 boles sense
reemplaçament. Calculeu la probabilitat d'obtenir exactament 2 vermelles.
Si la primera bola extreta és vermella, quina és la probabilitat que
exactament la meitat de les 4 boles siguin vermelles? (0,75 punts)
Rúbrica de correcció
- Distribució boles amb mínim: 0,5 pts
- Inclusió-exclusió: 0,75 pts
- Demostració identitat: 0,5 pts
- Probabilitats amb urna: 0,75 pts
32.5 punts
Convergència i límits· Anàlisi — Successions i Sèries
a) Demostreu que la successió aₙ = (1 + 1/n)ⁿ és creixent i fitada superiorment.
Deduïu que existeix el límit i és el nombre e. (0,75 punts)
b) Calculeu el límit: lim(n→∞) (n!/nⁿ)^(1/n). (0,5 punts)
c) Estudieu la convergència de la sèrie: Σ(n=1 to ∞) n²/(3ⁿ). Calculeu-ne la suma. (0,75 punts)
d) Demostreu que la sèrie harmònica Σ(n=1 to ∞) 1/n divergeix però que
Σ(n=1 to ∞) 1/n² convergeix. (0,5 punts)
Rúbrica de correcció
- Successió (1+1/n)^n: 0,75 pts
- Límit amb factorial: 0,5 pts
- Sèrie n²/3ⁿ: 0,75 pts
- Harmònica vs 1/n²: 0,5 pts
42.5 punts
Geometria del pla· Geometria — Transformacions i Còrdiques
a) Demostreu que les tres altures d'un triangle es tallen en un punt (ortocentre)
utilitzant coordenades cartesianes. (0,75 punts)
b) Donada la hipèrbola x²/4 - y²/9 = 1, trobeu les seves asímptotes,
focus i excentricitat. Dibuixeu-la esquemàticament. (0,5 punts)
c) Trobeu l'equació de la recta tangent a la hipèrbola anterior en el punt (4, 3√3). (0,5 punts)
d) Un triangle té vèrtexs A(0,0), B(6,0), C(4,5). Determineu l'equació
de la circumferència circumscrita al triangle. (0,75 punts)
Rúbrica de correcció
- Demostració ortocentre: 0,75 pts
- Elements de la hipèrbola: 0,5 pts
- Tangent a la hipèrbola: 0,5 pts
- Circumferència circumscrita: 0,75 pts
Desenvolupament d'un Tema
Desenvolupi UN dels dos temes proposats. Estructura: introducció, desenvolupament
ordenat dels continguts, aplicacions didàctiques i conclusió.
1
Divisibilitat. Nombres primers. Algoritme d'Euclides
Guió del tema
1. Introducció i context històric
2. Divisibilitat: definició i propietats
3. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple
4. Algoritme d'Euclides (iteratiu i recursiu)
5. Nombres primers: definició i propietats
6. Teorema fonamental de l'aritmètica
7. Infinitud dels primers (demostració d'Euclides)
8. Criba d'Eratòstenes
9. Conjectures obertes (Goldbach, primers bessons)
10. Aplicacions didàctiques a Secundària
2
Combinatòria: variacions, permutacions i combinacions
Guió del tema
1. Introducció: principis fonamentals del recompte
2. Principi de multiplicació i addició
3. Variacions ordinàries i amb repetició
4. Permutacions ordinàries i amb repetició
5. Combinacions ordinàries i amb repetició
6. Triangle de Pascal i propietats dels C(n,k)
7. Binomi de Newton
8. Principi d'inclusió-exclusió
9. Aplicacions: probabilitat, grafs, criptografia
10. Tractament didàctic a ESO i Batxillerat