Gratis
Simulacre d'Examen MA #4 — Oposicions Secundària Catalunya 2026
- Durada
- 4 hores 30 minuts
- Estructura
- A 70% · B 30%
- Nota d'aprovat
- 5
Prova Pràctica — Resolució de Problemes
Resolgui TOTS els problemes següents. Justifiqui tots els passos del raonament.
Es valorarà: rigor matemàtic, claredat en l'exposició, varietat de mètodes i
interpretació dels resultats.
12.5 punts
Arrels i factorització de polinomis· Àlgebra — Polinomis i Equacions
Considereu el polinomi p(x) = x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12.
a) Trobeu totes les arrels racionals del polinomi (si n'hi ha) i factoritzeu
completament p(x) sobre ℚ. (0,75 punts)
b) Factoritzeu p(x) completament sobre ℝ. (0,5 punts)
c) Si α és una arrel del polinomi q(x) = x³ - 2x - 5, demostreu que α² + α - 3
es pot expressar com a polynomial en α de grau menor que 3. Trobeu-ne
l'expressió. (0,75 punts)
d) Demostreu que √2 + √3 és algebraic sobre ℚ i trobeu el seu polinomi mínim. (0,5 punts)
Rúbrica de correcció
- Arrels racionals i factorització: 0,75 pts
- Factorització sobre ℝ: 0,5 pts
- Càlcul amb extensió algebraica: 0,75 pts
- Polinomi mínim de √2+√3: 0,5 pts
22.5 punts
Tècniques d'integració· Anàlisi — Integració
Calculeu les integrals següents:
a) ∫ x³/(x² + 1) dx (0,5 punts)
b) ∫ 1/(x² - 4x + 5) dx (0,5 punts)
c) ∫ x·arctan(x) dx (0,75 punts)
d) Calculeu ∫₀¹ x·√(1-x²) dx i interpreteu-lo geomètricament. (0,75 punts)
Rúbrica de correcció
- Integral racional: 0,5 pts
- Completar quadrat i arctan: 0,5 pts
- Integració per parts: 0,75 pts
- Integral definida i interpretació: 0,75 pts
32.5 punts
Posició relativa i distàncies· Geometria — Vectors i Rectes a l'Espai
Considereu les rectes a l'espai:
r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)
s: (x - 3)/1 = (y - 1)/2 = (z + 1)/1
a) Determineu si les rectes r i s es tallen, són paral·leles o es creuen.
Si es tallen, trobeu el punt d'intersecció. (0,75 punts)
b) Si les rectes es creuen, calculeu la distància entre elles. (0,5 punts)
c) Trobeu l'equació del pla que conté la recta r i és paral·lel a la recta s. (0,5 punts)
d) Trobeu les equacions de la perpendicular comuna a les dues rectes
(la recta que talla ambdues perpendicularment). (0,75 punts)
Rúbrica de correcció
- Posició relativa: 0,75 pts
- Distància entre rectes: 0,5 pts
- Pla amb condicions: 0,5 pts
- Perpendicular comuna: 0,75 pts
42.5 punts
Operacions i equacions amb complexos· Nombres Complexos
a) Expresseu z = (1 + i√3)⁶ en forma binòmica i en forma polar. (0,5 punts)
b) Trobeu totes les solucions de l'equació z⁴ = -16 i representeu-les
gràficament. (0,75 punts)
c) Demostreu que si |z| = 1 i z ≠ 1, aleshores (z - 1)/(z + 1) és imaginari pur. (0,5 punts)
d) Resoleu l'equació z² - (3-i)z + (4-3i) = 0. (0,75 punts)
Rúbrica de correcció
- Potència complexa: 0,5 pts
- Arrels de -16: 0,75 pts
- Demostració imaginari pur: 0,5 pts
- Equació quadràtica complexa: 0,75 pts
Desenvolupament d'un Tema
Desenvolupi UN dels dos temes proposats.
1
Nombres complexos. Formes d'expressió. Operacions
Guió del tema
1. Introducció i necessitat històrica (equacions sense solució real)
2. Definició i formes d'expressió
- Forma binòmica: a + bi
- Forma polar: r(cos θ + i·sin θ)
- Forma exponencial: r·e^(iθ)
3. Operacions en forma binòmica
4. Operacions en forma polar
5. Fórmula de De Moivre i arrels n-èsimes
6. Aplicacions: equacions polinòmiques
7. Representació geomètrica (pla d'Argand-Gauss)
8. Aplicacions didàctiques a Batxillerat
2
Vectors a l'espai. Producte escalar, vectorial i mixt
Guió del tema
1. Vectors lliures a l'espai: operacions
2. Base i coordenades
3. Producte escalar: definició i propietats
4. Aplicacions: angle entre vectors, projecció
5. Producte vectorial: definició i propietats
6. Interpretació geomètrica: àrea del paral·lelogram
7. Producte mixt: definició i propietats
8. Interpretació: volum del paral·lelepípede
9. Aplicacions a la geometria de l'espai
10. Tractament didàctic