Isometries

📋 RESUM: Isometries en el pla i en l'espai **Definició:** Transformacions que preserven distàncies: d(f(P), f(Q)) = d(P, Q). **Classificació en el pla:** • Translació: T_v(P) = P + v (0 punts fixos) • Rotació: R_{O,θ} gira angle θ al voltant de O (1 punt fix) • Reflexió: S_r simetria respecte recta r (recta de punts fixos) • Simetria amb lliscament: reflexió + translació paral·lela (0 punts fixos) **Isometries directes (det = +1):** Translacions, rotacions (preserven orientació) **Isometries inverses (det = -1):** Reflexions, simetries amb lliscament (canvien orientació) **Matriu de rotació:** R_θ = ((cos θ, -sin θ), (sin θ, cos θ)) **Composició de reflexions:** • 2 eixos paral·lels (dist. d) → translació (2d) • 2 eixos secants (angle α) → rotació (2α) **Teorema fonamental:** Tota isometria = composició de màxim 3 reflexions. **Grups de simetria:** Cíclic C_n, dièdric D_n, 7 frisos, 17 grups cristal·logràfics. **Aplicacions:** Cristal·lografia, art (Escher, Alhambra), informàtica gràfica, física (teorema de Noether).