Determinants. Propietats i aplicacions

📋 RESUM: Determinants • **Definició axiomàtica:** Funció multilineal per files, alternada, amb det(I) = 1 • **Fórmula:** $\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_i a_{i,\sigma(i)}$ • **Propietats clau:** $\det(A^T) = \det(A)$, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ • **Operacions elementals:** Intercanvi → canvi signe, escalar fila → multiplica det, suma files → no canvia • **Càlcul:** Escalonament (Gauss) o desenvolupament per adjunts (Laplace) • **Invertibilitat:** $A$ invertible ⟺ $\det(A) \neq 0$ • **Matriu adjunta:** $A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I$, per tant $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ • **Regla de Cramer:** $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ • **Geometria:** $|\det|$ = factor d'escala de volum, signe = orientació • **Autovalors:** $\det(A) = \prod \lambda_i$