Equacions diferencials ordinàries

📋 RESUM: Equacions diferencials ordinàries • EDO: relació entre y(x) i les seves derivades; ordre = derivada màxima. • Primer ordre: – Separable: y'=g(x)h(y) ⇒ ∫dy/h(y)=∫g(x)dx. – Lineal: y'+p(x)y=q(x), factor integrant μ=e^{∫p} ⇒ (μy)'=μq. – Bernoulli: y'+py=qy^α ⇒ v=y^{1-α} lineal. – Homogènia: y'=F(y/x), substitució y=vx. – Exacta: Mdx+Ndy=0 amb M_y=N_x ⇒ Φ(x,y)=C. • Segon ordre lineal (coef. constants): y''+ay'+by=0 ⇒ característica r²+ar+b=0. – Arrels reals, doble o complexes ⇒ formes conegudes. – No homogènia: y=y_h+y_p (coeficients indeterminats o variació de paràmetres). • Sistemes lineals: x'=Ax+b(t), solució amb e^{At}. • Existència i unicitat: Picard–Lindelöf (continuïtat + Lipschitz en y) ⇒ solució única. • Qualitatiu: punts d’equilibri i estabilitat en autònomes; classificació per valors propis en 2D.