Doan
Simulacre d'Examen MA #3 — Oposicions Secundària Catalunya 2026
- Iraupena
- 4 hores 30 minuts
- Egitura
- A 70% · B 30%
- Gainditzeko nota
- 5
Prova Pràctica — Resolució de Problemes
Resolgui TOTS els problemes següents. Justifiqui tots els passos del raonament.
Es valorarà: rigor matemàtic, claredat en l'exposició, varietat de mètodes i
interpretació dels resultats.
12.5 puntu
Divisibilitat i congruències· Teoria de Nombres i Aritmètica
a) Demostreu que per a tot enter n ≥ 1, n⁵ - n és divisible per 30. (0,75 punts)
b) Trobeu el residu de dividir 7^2026 entre 100. (0,5 punts)
c) Resoleu el sistema de congruències lineals: (0,75 punts)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 7)
d) Demostreu que hi ha infinits nombres primers de la forma 4k + 3. (0,5 punts)
Zuzenketa-errubrika
- Demostració divisibilitat per 30: 0,75 pts
- Residu potència mod 100: 0,5 pts
- Teorema Xinès dels Residus: 0,75 pts
- Demostració primers 4k+3: 0,5 pts
22.5 puntu
Recomptes i distribucions· Combinatòria i Probabilitat Discreta
a) De quantes maneres es poden distribuir 10 boles idèntiques en 4 capses
diferents si cada capsa ha de tenir almenys una bola? (0,5 punts)
b) Quants enters positius menors que 1000 no són divisibles ni per 3, ni per 5,
ni per 7? (0,75 punts)
c) Demostreu la identitat combinatòria: (0,5 punts)
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2ⁿ
d) Una urna conté 5 boles vermelles i 3 boles blanques. S'extreuen 4 boles sense
reemplaçament. Calculeu la probabilitat d'obtenir exactament 2 vermelles.
Si la primera bola extreta és vermella, quina és la probabilitat que
exactament la meitat de les 4 boles siguin vermelles? (0,75 punts)
Zuzenketa-errubrika
- Distribució boles amb mínim: 0,5 pts
- Inclusió-exclusió: 0,75 pts
- Demostració identitat: 0,5 pts
- Probabilitats amb urna: 0,75 pts
32.5 puntu
Convergència i límits· Anàlisi — Successions i Sèries
a) Demostreu que la successió aₙ = (1 + 1/n)ⁿ és creixent i fitada superiorment.
Deduïu que existeix el límit i és el nombre e. (0,75 punts)
b) Calculeu el límit: lim(n→∞) (n!/nⁿ)^(1/n). (0,5 punts)
c) Estudieu la convergència de la sèrie: Σ(n=1 to ∞) n²/(3ⁿ). Calculeu-ne la suma. (0,75 punts)
d) Demostreu que la sèrie harmònica Σ(n=1 to ∞) 1/n divergeix però que
Σ(n=1 to ∞) 1/n² convergeix. (0,5 punts)
Zuzenketa-errubrika
- Successió (1+1/n)^n: 0,75 pts
- Límit amb factorial: 0,5 pts
- Sèrie n²/3ⁿ: 0,75 pts
- Harmònica vs 1/n²: 0,5 pts
42.5 puntu
Geometria del pla· Geometria — Transformacions i Còrdiques
a) Demostreu que les tres altures d'un triangle es tallen en un punt (ortocentre)
utilitzant coordenades cartesianes. (0,75 punts)
b) Donada la hipèrbola x²/4 - y²/9 = 1, trobeu les seves asímptotes,
focus i excentricitat. Dibuixeu-la esquemàticament. (0,5 punts)
c) Trobeu l'equació de la recta tangent a la hipèrbola anterior en el punt (4, 3√3). (0,5 punts)
d) Un triangle té vèrtexs A(0,0), B(6,0), C(4,5). Determineu l'equació
de la circumferència circumscrita al triangle. (0,75 punts)
Zuzenketa-errubrika
- Demostració ortocentre: 0,75 pts
- Elements de la hipèrbola: 0,5 pts
- Tangent a la hipèrbola: 0,5 pts
- Circumferència circumscrita: 0,75 pts
Desenvolupament d'un Tema
Desenvolupi UN dels dos temes proposats. Estructura: introducció, desenvolupament
ordenat dels continguts, aplicacions didàctiques i conclusió.
1
Divisibilitat. Nombres primers. Algoritme d'Euclides
Gaiaren eskema
1. Introducció i context històric
2. Divisibilitat: definició i propietats
3. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple
4. Algoritme d'Euclides (iteratiu i recursiu)
5. Nombres primers: definició i propietats
6. Teorema fonamental de l'aritmètica
7. Infinitud dels primers (demostració d'Euclides)
8. Criba d'Eratòstenes
9. Conjectures obertes (Goldbach, primers bessons)
10. Aplicacions didàctiques a Secundària
2
Combinatòria: variacions, permutacions i combinacions
Gaiaren eskema
1. Introducció: principis fonamentals del recompte
2. Principi de multiplicació i addició
3. Variacions ordinàries i amb repetició
4. Permutacions ordinàries i amb repetició
5. Combinacions ordinàries i amb repetició
6. Triangle de Pascal i propietats dels C(n,k)
7. Binomi de Newton
8. Principi d'inclusió-exclusió
9. Aplicacions: probabilitat, grafs, criptografia
10. Tractament didàctic a ESO i Batxillerat