📋 RESUM: Corbes en el pla i en l’espai
• Representacions: paramètrica γ(t), implícita F(x,y)=0, explícita y=f(x), polars r(θ)
• Regularitat: corba regular si γ'(t)≠0; defineix direcció tangent
• Tangent: en paramètrica, línia tangent ℓ(s)=γ(t₀)+sγ'(t₀); en implícita, Fₓ(x₀,y₀)(x-x₀)+Fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)=0
• Longitud d’arc: L=∫‖γ'(t)‖dt; si y=f(x): L=∫√(1+f'(x)²)dx
• Parametrització per arc s: imposa ‖dγ/ds‖=1 i simplifica curvatura
• Curvatura plana: κ(t)=|x'y''−y'x''|/(x'²+y'²)^{3/2}; en arc: κ=‖T'‖
• Corbes espacials: κ(t)=‖γ'×γ''‖/‖γ'‖³; torsió τ=(γ',γ'',γ''')/‖γ'×γ''‖²
• Triedre de Frenet: T tangent, N normal, B binormal; fórmules T'=κN, N'=-κT+τB, B'=-τN
• Plans associats: osculador (T,N), normal (N,B), rectificant (T,B)
• Exemple: hèlix (a cos t, a sin t, bt) té κ i τ constants
Desarrollo del tema
# CORBES EN EL PLA I EN L'ESPAI
## 1. Introducció
L'estudi de les **corbes** en el pla i en l'espai és essencial en geometria diferencial i en aplicacions com la física (trajectòries), enginyeria (disseny de camins), CAD i robòtica. Una corba es pot descriure com la imatge d'una funció d'una variable real cap a $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.
En aquest tema abordarem diverses representacions de corbes, la regularitat, el vector tangent, longitud d'arc i, per a corbes a l'espai, el triedre de Frenet i les nocions de curvatura i torsió.
Una corba parametritzada $\gamma$ és **regular** si és diferenciable i $\gamma'(t)\neq 0$ per a tot $t\in I$.
El vector derivada:
$$\gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) \text{ o } (x'(t),y'(t),z'(t))$$
dóna la direcció tangent.
### 3.2 Recta tangent (pla)
Si $\gamma(t_0)=(x_0,y_0)$ i $\gamma'(t_0)=(x'_0,y'_0)$ amb $x'_0\neq 0$, aleshores la pendent és:
$$\frac{dy}{dx}(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$$
i la recta tangent:
$$y-y_0 = \frac{y'_0}{x'_0}(x-x_0).$$
En forma vectorial: $\ell(s)=\gamma(t_0)+s\gamma'(t_0)$.
### 3.3 Corbes implícites
Si $F(x,y)=0$ i $\nabla F(x_0,y_0)\neq 0$, el teorema de la funció implícita garanteix que localment $y=f(x)$ o $x=g(y)$.
La tangent en $(x_0,y_0)$ és:
$$F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0.$$
## 4. Reparametrització i longitud d'arc
### 4.1 Longitud d'arc
Per a $\gamma:I=[a,b]\to\mathbb{R}^n$ regular i $C^1$, la longitud és:
$$L(\gamma)=\int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt.$$
**Corba plana explícita:** si $y=f(x)$, $x\in[a,b]$:
$$L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$
### 4.2 Parametrització per longitud d'arc
Definim $s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|du$. Si $s$ és invertible, podem reparametritzar $\gamma$ en funció de $s$ obtenint una corba amb velocitat unitària:
$$\left\|\frac{d\gamma}{ds}\right\|=1.$$
Això simplifica les definicions de curvatura.
## 5. Curvatura en el pla
Per una corba plana $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ regular i $C^2$, la **curvatura** és:
$$\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.$$
Si està parametritzada per longitud d'arc $s$, amb vector tangent unitari $T=\gamma'(s)$:
$$\kappa(s)=\|T'(s)\|.$$
El **radi de curvatura** és $\rho=1/\kappa$.
**Exemple:** circumferència de radi $R$ té curvatura constant $\kappa=1/R$.
## 6. Corbes espacials: triedre de Frenet
Suposem $\gamma:I\to\mathbb{R}^3$ regular, $C^3$ i parametritzada per longitud d'arc $s$.
on $(a,b,c)$ és el determinant (producte mixt) de $a,b,c$.
**Interpretació:** $\kappa$ mesura “quant gira” la tangent; $\tau$ mesura “quant surt del pla osculador”.
## 7. Plans associats a una corba
- **Pla osculador:** generat per $T$ i $N$; normal $B$
- **Pla normal:** generat per $N$ i $B$; normal $T$
- **Pla rectificant:** generat per $T$ i $B$; normal $N$
**Equació del pla osculador** en $P=\gamma(s_0)$:
$$B(s_0)\cdot (X-P)=0.$$
## 8. Exemples clàssics
### 8.1 Hèlix
$\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$.
Es pot demostrar que té curvatura i torsió constants:
$$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}.$$
### 8.2 Corba plana amb torsió nul·la
Si una corba està continguda en un pla, aleshores $\tau=0$.
## 9. Regularitat, punts singulars i cúspides
Si $\gamma'(t_0)=0$, el punt és **singular**. Pot ser:
- cúspide (punta)
- punt doble (auto-intersecció)
En corbes implícites, $\nabla F=0$ identifica punts singulars.
## 10. Aplicacions
- **Trajectòries i cinemàtica:** velocitat $\gamma'$, acceleració $\gamma''$; descomposició en components tangent i normal.
- **Camins òptims:** corbes de braquistòcrona (ciclòide) i geodèsiques (vegeu T38).
- **CAD i splines:** representacions paramètriques (Bézier, B-splines) per disseny.
## 11. Conclusions
Les corbes es descriuen de manera natural amb parametritzacions. La regularitat garanteix tangent ben definida. La longitud d'arc i la reparametrització per $s$ permeten definir curvatura de manera intrínseca. A l'espai, el triedre de Frenet-Serret amb curvatura i torsió caracteritza la geometria local de la corba.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
