Temario · Matemàtiques
T48. Inferència estadística. Estimació
📋 RESUM: Inferència estadística i estimació **Objectiu:** inferir paràmetres poblacionals θ a partir d’una mostra i.i.d. X₁,…,Xₙ. **Estimació puntual:** un estimador θ̂ és una funció de la mostra. Qualitats: • Biaix: Bias(θ̂)=E[θ̂]−θ (insesgat si és 0) • Consistència: θ̂→θ en probabilitat quan n→∞ • Eficiència: menor Var entre insesgats • MSE: Var(θ̂)+Bias(θ̂)² **Suficiència:** T és suficient si la versemblança factoritza (Fisher–Neyman). **Límit de Cramér–Rao:** Var(θ̂) ≥ 1/Iₙ(θ) per estimadors insesgats (informació de Fisher). **Mètodes de construcció:** • Moments: igualar moments teòrics i mostral • Màxima versemblança: maximitzar L(θ)=∏ f(x_i;θ); sovint maximitzem log L. • (Breu) Bayes: posterior π(θ|x) ∝ L(θ;x)π(θ) **Intervals de confiança (1−α):** P(L(X)≤θ≤U(X))=1−α. • Mitjana normal, σ coneguda: x̄ ± z_{α/2} σ/√n • Mitjana normal, σ desconeguda: x̄ ± t_{α/2,n−1} s/√n • Proporció: p̂ ± z_{α/2} √(p̂(1−p̂)/n) • Variància normal: ((n−1)s²/χ²_{1−α/2}, (n−1)s²/χ²_{α/2})
Desarrollo del tema
# INFERÈNCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓ
## 1. Introducció
La **inferència estadística** estudia com extreure conclusions sobre una població a partir d’una mostra. Els dos grans pilars són: - **Estimació:** aproximar paràmetres poblacionals (puntual i per intervals) - **Contrast d’hipòtesis:** decidir entre afirmacions sobre la població
En aquest tema ens centrarem en l’estimació: conceptes bàsics, propietats dels estimadors, mètodes de construcció i intervals de confiança.
## 2. Població, mostra i models
Considerem una població descrita per una família de distribucions $\{f(x;\theta):\theta\in\Theta\}$.
Prenem una mostra aleatòria simple: $$X_1,\ldots,X_n \overset{iid}{\sim} f(x;\theta)$$
L’objectiu és inferir el valor desconegut del paràmetre $\theta$ a partir de les dades.
## 3. Estimació puntual
### 3.1 Estimador i estimació
Un **estimador** $\hat\theta$ és una variable aleatòria (funció de la mostra) que pretén aproximar $\theta$. Un cop observada la mostra, el valor numèric s’anomena **estimació**.
Exemples: - Mitjana poblacional $\mu$: estimador $\bar X=\frac{1}{n}\sum X_i$ - Variància $\sigma^2$: estimadors $S^2$ (corregit) o $\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar X)^2$ (no corregit)
### 3.2 Propietats d’un bon estimador
**Biaix (bias):** $$\mathrm{Bias}(\hat\theta)=\mathbb{E}[\hat\theta]-\theta$$
**Insesgat:** si $\mathbb{E}[\hat\theta]=\theta$.
**Consistència:** $\hat\theta\xrightarrow{p}\theta$ quan $n\to\infty$.
**Eficiència:** entre estimadors insesgats, és millor el que té menor variància.
**Error quadràtic mitjà (MSE):** $$\mathrm{MSE}(\hat\theta)=\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]=\mathrm{Var}(\hat\theta)+\mathrm{Bias}(\hat\theta)^2$$
El MSE combina variància i biaix.
### 3.3 Suficiència
Un estadístic $T(X_1,\ldots,X_n)$ és **suficient** per $\theta$ si conté tota la informació sobre $\theta$ present a la mostra.
**Teorema de factorització de Fisher–Neyman:** $T$ és suficient si la versemblança es pot factoritzar: $$L(\theta;\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}),\theta)\,h(\mathbf{x})$$
### 3.4 Límits inferiors (Cramér–Rao)
Si $\hat\theta$ és insesgat i es compleixen condicions regulars: $$\mathrm{Var}(\hat\theta) \ge \frac{1}{I_n(\theta)}$$
on $I_n(\theta)$ és la informació de Fisher de la mostra: $$I_n(\theta)=nI_1(\theta)=n\,\mathbb{E}\left[\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\log f(X;\theta)\right)^2\right]$$
Un estimador que assoleix el límit és **eficient**.
## 4. Mètodes de construcció d’estimadors
### 4.1 Mètode dels moments
Igualem moments teòrics amb moments mostral: $$m_k(\theta)=\mathbb{E}[X^k] \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$$
**Exemple:** si $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$, $\mathbb{E}[X]=1/\lambda$. Igualant $\bar X=1/\lambda$ obtenim: $$\hat\lambda_{MM}=\frac{1}{\bar X}$$
### 4.2 Màxima versemblança (MLE)
La **versemblança** és: $$L(\theta;\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$
L’estimador MLE és: $$\hat\theta_{MV}=\arg\max_{\theta\in\Theta} L(\theta;\mathbf{x})$$
Sovint maximitzem el logaritme: $$\ell(\theta)=\log L(\theta)=\sum_{i=1}^n\log f(x_i;\theta)$$
**Propietats (asímptotiques):** - Consistent - Asímptoticament normal: $$\sqrt{n}(\hat\theta_{MV}-\theta) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, I_1(\theta)^{-1})$$ - Invariància: si $\eta=g(\theta)$, llavors $\widehat{\eta}=g(\hat\theta)$
**Exemple (Normal):** Si $X_i\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ amb $\sigma^2$ coneguda, l’MLE de $\mu$ és $\bar X$.
### 4.3 Estimació bayesiana (breu)
Es considera $\theta$ com a variable aleatòria amb prior $\pi(\theta)$. Amb dades, obtenim posterior: $$\pi(\theta\mid \mathbf{x}) \propto L(\theta;\mathbf{x})\pi(\theta)$$
L’estimador pot ser la mitjana posterior, la moda (MAP), etc.
## 5. Estimació per intervals: intervals de confiança
### 5.1 Definició
Un **interval de confiança** al nivell $1-\alpha$ és un interval aleatori $(L(X),U(X))$ tal que: $$\mathbb{P}(L(X)\le \theta \le U(X))=1-\alpha$$
**Interpretació correcta:** si repetim el mostreig moltes vegades, una fracció $1-\alpha$ dels intervals contindran el paràmetre veritable.
### 5.2 IC per la mitjana amb variància coneguda
Si $X_i\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ i $\sigma$ coneguda: $$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathcal{N}(0,1)$$
Per tant, un IC $(1-\alpha)$ és: $$\bar X \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
on $z_{\alpha/2}$ és el quantil de la normal estàndard.
### 5.3 IC per la mitjana amb variància desconeguda
Si $\sigma$ és desconeguda i la població és normal: $$T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$
IC: $$\bar X \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}$$
on $S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar X)^2$.
### 5.4 IC per una proporció
Si $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$ i $\hat p=X/n$, per $n$ gran: $$\hat p \approx \mathcal{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$$
IC aproximat (Wald): $$\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$
(En pràctica sovint es prefereixen Wilson/Agresti–Coull, però el Wald és el més clàssic.)
### 5.5 IC per la variància (normal)
Si $X_i\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$: $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$$
Per tant: $$\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}},\;\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}}\right)$$
## 6. Grandària mostral i precisió
Per un IC de la mitjana (σ coneguda), l’amplada és: $$2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si volem un error màxim $E$ (semi-amplada): $$n \ge \left(z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{E}\right)^2$$
Per a proporcions, amb pitjor cas $p(1-p)\le 1/4$: $$n \ge z_{\alpha/2}^2\frac{1}{4E^2}$$
## 7. Exemple resolt
Mostra $n=25$ d’una població normal amb $\bar x=10.2$, $s=1.5$. IC 95% per $\mu$: $$10.2 \pm t_{0.025,24}\frac{1.5}{\sqrt{25}}$$ Amb $t_{0.025,24}\approx 2.064$: $$10.2 \pm 2.064\cdot 0.3 = 10.2 \pm 0.6192$$ IC: $(9.58, 10.82)$.
## 8. Didàctica
- Diferenciar “paràmetre” (fix però desconegut) de “estadístic” (aleatori) - Treballar la interpretació correcta del nivell de confiança - Simular intervals de confiança per visualitzar el percentatge que conté el paràmetre - Presentar MLE amb exemples senzills (normal, exponencial)
## 9. Conclusions
L’estimació permet quantificar valors desconeguts a partir de dades. Els estimadors es valoren per biaix, variància, consistència i MSE. Els mètodes dels moments i de màxima versemblança ofereixen procediments sistemàtics de construcció. Finalment, els intervals de confiança incorporen la incertesa i són una peça central de la inferència.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.