📋 RESUM: Sèries de potències i funcions usuals
**Conceptes fonamentals:**
• Sèrie de potències: Σcₙ(x-a)ⁿ amb radi de convergència R
• Fórmula de Cauchy-Hadamard: 1/R = limsup ⁿ√|cₙ|
• Dins l'interval: funció contínua, infinitament derivable, integrable terme a terme
**Teorema de Taylor:**
• f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ
• Residu de Lagrange: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x-a)ⁿ⁺¹
**Desenvolupaments essencials (R = radi):**
• eˣ = Σ xⁿ/n! (R = ∞)
• sin x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! (R = ∞)
• cos x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! (R = ∞)
• ln(1+x) = Σ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n (R = 1)
• (1+x)ᵅ = Σ (α choose n)xⁿ (R = 1)
• arctan x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1) (R = 1)
**Aplicacions:** càlcul de límits, integrals, EDOs, aproximacions, fórmula d'Euler.
Desarrollo del tema
# DESENVOLUPAMENTS EN SÈRIES DE POTÈNCIES DE FUNCIONS USUALS
## 1. Introducció
Les **sèries de potències** constitueixen una de les eines més poderoses de l'anàlisi matemàtica. Permeten representar funcions com a sumes infinites de termes polinòmics, facilitant el càlcul, l'aproximació i l'estudi de propietats analítiques. Aquesta representació és fonamental en física, enginyeria i matemàtica aplicada.
En aquest tema estudiarem la teoria general de les sèries de potències, el teorema de Taylor i els desenvolupaments de les funcions elementals més importants.
## 2. Sèries de Potències: Definicions
### 2.1 Definició formal
Una **sèrie de potències** centrada en $a$ és una expressió de la forma:
on $\{c_n\}$ és una successió de coeficients reals (o complexos) i $a$ és el **centre** de la sèrie. Quan $a = 0$, la sèrie s'anomena **sèrie de Maclaurin**.
Tota sèrie de potències té associat un **radi de convergència** $R \in [0, +\infty]$ tal que:
- La sèrie **convergeix absolutament** si $|x - a| < R$
- La sèrie **divergeix** si $|x - a| > R$
- Als punts $|x - a| = R$ cal estudiar cada cas
El conjunt $\{x : |x-a| < R\}$ s'anomena **interval de convergència** (obert).
**Fórmula de Cauchy-Hadamard:**
$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}$$
**Criteri del quocient (D'Alembert):** Si el límit existeix:
$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$$
### 2.3 Propietats fonamentals
Dins del seu interval de convergència, una sèrie de potències defineix una funció $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ que és:
1. **Contínua** a tot l'interval obert de convergència
2. **Infinitament derivable** terme a terme:
$$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot c_n (x-a)^{n-1}$$
3. **Integrable** terme a terme:
$$\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$$
4. La derivada i la primitiva tenen el **mateix radi de convergència** $R$
## 3. Teorema de Taylor
### 3.1 Fórmula de Taylor
Si $f$ és una funció amb derivades de tots els ordres en un entorn del punt $a$, la seva **sèrie de Taylor** centrada en $a$ és:
**Radi de convergència:** $R = +\infty$ per a ambdues.
**Observació:** $\sin x$ només té potències senars (funció senar) i $\cos x$ només parelles (funció parella).
**Tangent:** La sèrie és més complexa i involucra els **nombres de Bernoulli**:
$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots \quad (|x| < \frac{\pi}{2})$$
### 4.3 Funcions hiperbòliques
**Sinus hiperbòlic:**
$$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$
Mètode de sèries de potències: suposar $y = \sum a_n x^n$, substituir a l'equació i igualar coeficients.
### 6.4 Aproximacions numèriques
El polinomi de Taylor de grau $n$ proporciona aproximacions amb error controlat pel residu de Lagrange.
## 7. Fórmula d'Euler
Una de les conseqüències més profundes és la **fórmula d'Euler** per a exponencials complexes:
$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$
que es demostra comparant les sèries:
$$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos x + i \sin x$$
El cas $x = \pi$ dóna la **identitat d'Euler**: $e^{i\pi} + 1 = 0$.
## 8. Conclusions
Els desenvolupaments en sèries de potències són una eina fonamental que connecta l'àlgebra (polinomis), l'anàlisi (convergència, derivació) i el càlcul numèric (aproximacions). Dominar les sèries de les funcions usuals és essencial per a qualsevol matemàtic o científic.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
