T7. Sèries numèriques. Criteri de convergència

Desarrollo del tema

# Sèries Numèriques. Criteris de Convergència

## Introducció

Les sèries numèriques representen la generalització de la suma a una infinitat de termes. L'objectiu principal és determinar si la suma infinita "convergeix" a un valor finit o no. Les sèries apareixen en càlcul de funcions ($e^x$, $\sin(x)$), equacions diferencials i processament de senyals (Fourier).

## 1. Definició de Sèrie Numèrica

Donada una successió $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$, la **sèrie numèrica** és la suma formal:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$

### Sumes Parcials

Definim la **successió de sumes parcials** $\{S_k\}$:

$$S_k = \sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$$

### Caràcter de la Sèrie

Sigui $S = \lim_{k \to \infty} S_k$:

- **Convergent:** Si $S \in \mathbb{R}$ (finit). Escrivim $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$ - **Divergent:** Si $S = \pm\infty$ - **Oscil·lant:** Si el límit no existeix

## 2. Sèries Fonamentals

### a) Sèrie Geomètrica

$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

**Caràcter segons la raó $r$:**

- Si $|r| < 1$: **Convergent** amb suma $S = \frac{a}{1-r}$ - Si $|r| \ge 1$: **Divergent** (o oscil·lant si $r \le -1$)

**Exemple:** $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$

### b) Sèrie Harmònica

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$$

És **divergent** (tot i que $a_n \to 0$). Contraexemple fonamental.

### c) Sèries p-harmòniques (de Riemann)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

- **Convergent** si $p > 1$ - **Divergent** si $p \le 1$

## 3. Condició Necessària de Convergència

**Teorema:** Si $\sum a_n$ convergeix $\Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0$

**Important:** Condició necessària però **NO suficient** (harmònica compleix $a_n \to 0$ però divergeix).

**Criteri de divergència:** Si $\lim a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n$ divergeix

**Exemple:** $\sum \frac{2n^2-1}{3n^2+n}$ divergeix perquè $\lim a_n = \frac{2}{3} \ne 0$

## 4. Criteris per a Sèries de Termes Positius

### a) Criteri de Comparació

**Comparació Directa:** Si $0 \le a_n \le b_n$: - Si $\sum b_n$ convergeix $\Rightarrow \sum a_n$ convergeix - Si $\sum a_n$ divergeix $\Rightarrow \sum b_n$ divergeix

**Comparació per Límit:** Sigui $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$: - Si $0 < L < \infty$: Mateix caràcter - Si $L = 0$ i $\sum b_n$ conv. $\Rightarrow \sum a_n$ conv. - Si $L = \infty$ i $\sum b_n$ div. $\Rightarrow \sum a_n$ div.

**Exemple:** $\sum \frac{1}{n^2+3}$ amb $b_n = \frac{1}{n^2}$: $$L = \lim \frac{n^2}{n^2+3} = 1 \Rightarrow \text{convergent}$$

### b) Criteri del Quocient (d'Alembert)

Calculem $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$:

- Si $L < 1$: **Convergent** - Si $L > 1$: **Divergent** - Si $L = 1$: **No decideix**

Útil per factorials i potències.

**Exemple:** $\sum \frac{n^3}{3^n}$: $$L = \lim \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow \text{convergent}$$

### c) Criteri de l'Arrel (de Cauchy)

Calculem $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$:

- Si $L < 1$: **Convergent** - Si $L > 1$: **Divergent** - Si $L = 1$: **No decideix**

Útil quan $a_n$ conté potències n-èsimes.

**Exemple:** $\sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n$: $$L = \lim \frac{2n}{3n+1} = \frac{2}{3} < 1 \Rightarrow \text{convergent}$$

### d) Criteri de la Integral

Si $f(x)$ és contínua, positiva i decreixent en $[1, \infty)$ amb $a_n = f(n)$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ i } \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ tenen el mateix caràcter}$$

**Exemple:** Demostrar convergència de $\sum \frac{1}{n^p}$ per $p > 1$: $$\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx = \frac{1}{1-p}\left[x^{1-p}\right]_1^{\infty}$$ Convergeix si $1-p < 0$, és a dir, $p > 1$.

## 5. Sèries Alternades i Criteri de Leibniz

**Sèrie alternada:** $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots$ amb $a_n > 0$

**Teorema de Leibniz:** La sèrie convergeix si: 1. $\{a_n\}$ és decreixent: $a_{n+1} \le a_n$ 2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

**Exemple:** Sèrie harmònica alternada $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$: - $\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}$ ✓ - $\lim \frac{1}{n} = 0$ ✓ - Per Leibniz: **Convergent**

## 6. Convergència Absoluta vs Condicional

### Convergència Absoluta

$\sum a_n$ és **absolutament convergent** si $\sum |a_n|$ convergeix.

**Teorema fonamental:** Absoluta convergència $\Rightarrow$ Convergència

Permet usar criteris de termes positius sobre $\sum |a_n|$.

### Convergència Condicional

$\sum a_n$ és **condicionalment convergent** si: - $\sum a_n$ convergeix - $\sum |a_n|$ divergeix

**Exemple 1 (Absoluta):** $\sum \frac{\sin n}{n^3}$

$$\left|\frac{\sin n}{n^3}\right| \le \frac{1}{n^3}$$

Com $\sum \frac{1}{n^3}$ convergeix ($p=3>1$), la sèrie és absolutament convergent.

**Exemple 2 (Condicional):** Sèrie harmònica alternada $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ - Convergeix per Leibniz - $\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}$ divergeix - Per tant: **Condicionalment convergent**

## 7. Resum de Criteris

| Criteri | Condició | Convergeix | Divergeix | |---------|----------|------------|-----------| | Necessària | $\lim a_n$ | - | $\ne 0$ | | Quocient | $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$ | $< 1$ | $> 1$ | | Arrel | $\lim \sqrt[n]{a_n}$ | $< 1$ | $> 1$ | | Leibniz | $a_n \downarrow$, $a_n \to 0$ | Sí | - |