T40. Transformacions en el pla i en l'espai

Desarrollo del tema

# TRANSFORMACIONS EN EL PLA I EN L'ESPAI

## 1. Introducció

Les **transformacions geomètriques** descriuen com es mouen i es deformen figures al pla i a l'espai. En matemàtiques i didàctica, són essencials per entendre simetries, invariants, congruència i semblança. En enginyeria i computació gràfica, les transformacions s'expressen amb matrius i s'apliquen a coordenades.

Estudiarem transformacions afins i euclidianes (isometries), similituds, homografies i transformacions lineals rellevants, així com la seva representació matricial.

## 2. Transformacions lineals i afins

### 2.1 Transformació lineal

Una transformació lineal $T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ compleix: $$T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(\lambda u)=\lambda T(u).$$

Té representació matricial $T(x)=Ax$.

### 2.2 Transformació afí

Una transformació afí és: $$f(x)=Ax+b$$ amb $A\in M_{n\times n}$ i $b\in\mathbb{R}^n$.

- Si $\det(A)\neq 0$, $f$ és una **afinitat** (bijectiva). - Preserva alineació, paral·lelisme i raó simple.

### 2.3 Coordenades homogènies

En 2D i 3D, les transformacions afins es poden expressar com a matrius en coordenades homogènies:

**En 2D:** $$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & b\\ 0\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}.$$

**En 3D:** anàlog amb una matriu $4\times 4$.

Això permet compondre transformacions amb un sol producte matricial.

## 3. Isometries (moviments rígids)

### 3.1 Definició

Una isometria $f$ preserva distàncies: $$d(f(P),f(Q))=d(P,Q).$$

En coordenades: $f(x)=Ax+b$ amb $A$ ortogonal: $$A^TA=I.$$

- $\det(A)=1$: isometria directa - $\det(A)=-1$: isometria inversa

### 3.2 Isometries al pla

Classificació clàssica: 1. **Translació:** $f(x)=x+v$. Sense punts fixos. 2. **Rotació:** al voltant d'un punt $O$ amb angle $\theta$. Un únic punt fix. $$A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$ 3. **Simetria axial:** respecte una recta $r$. Una infinitat de punts fixos (els de $r$). 4. **Simetria lliscant:** composició d'una simetria axial i una translació paral·lela a l'eix; cap punt fix.

**Teorema:** tota isometria del pla és una d'aquestes quatre.

### 3.3 Isometries a l'espai

Inclouen: - Translacions - Rotacions al voltant d'un eix - Simetries respecte un pla - Simetria central (inversió respecte un punt) - Moviments helicoïdals (rotació + translació al llarg de l'eix)

## 4. Similituds

### 4.1 Definició

Una **similitud** preserva angles i escala distàncies per un factor $k>0$: $$d(f(P),f(Q))=k\,d(P,Q).$$

En coordenades: $f(x)=kAx+b$ amb $A$ ortogonal.

### 4.2 Homotetia

Cas particular amb $A=I$: $$f(x)=O+k(x-O).$$

Centre $O$, raó $k$. Si $k<0$ inclou una simetria central.

## 5. Transformacions afins destacades

### 5.1 Cisallament (shear)

En 2D: $$A=\begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix} \quad \Rightarrow\quad (x',y')=(x+my,y).$$

Preserva àrees (det=1) però no angles.

### 5.2 Projeccions i reflexions

- Projecció ortogonal sobre una recta o pla: operador idempotent $P^2=P$. - Reflexió respecte un subespai: $R=2P-I$.

En base ortonormal, si $u$ és unitari, la reflexió respecte la recta generada per $u$: $$R(x)=2\langle x,u\rangle u - x.$$

## 6. Composició i grups

Les transformacions amb una mateixa estructura formen grups: - Isometries: grup euclidià $E(n)$ - Transformacions lineals invertibles: $GL(n)$ - Similituds: grup de similituds - Afinitats: grup afí

La **composició** correspon al producte matricial (i suma adequada del vector $b$ en el cas afí): $$f(x)=A_1x+b_1,\ g(x)=A_2x+b_2 \Rightarrow (g\circ f)(x)=A_2A_1x + (A_2b_1+b_2).$$

## 7. Transformacions projectives (homografies)

Al pla projectiu, una transformació projectiva (homografia) ve donada per una matriu $3\times 3$ invertible sobre coordenades homogènies: $$[x:y:1]\mapsto [x':y':w'] = H[x:y:1],\quad H\in GL(3).$$

En coordenades afins: $$x=\frac{x'}{w'},\quad y=\frac{y'}{w'}.$$

Les homografies preserven la raó doble i envien rectes a rectes.

## 8. Invariants i classificació

### 8.1 Invariants segons el tipus

- Lineals: preserven origen. - Afins: preserven paral·lelisme i raons. - Isometries: preserven distàncies i angles. - Similituds: preserven angles i proporcions. - Projectives: preserven alineació i raó doble.

### 8.2 Punts fixos

Els punts fixos d'una transformació afí satisfan $(A-I)x=-b$.

- Translació: cap punt fix si $b\neq 0$. - Rotació: un punt fix. - Simetria axial: una recta de punts fixos.

A l'espai, les rotacions tenen com a conjunt fix l'eix.

## 9. Aplicacions

- **Geometria i didàctica:** simetries, tessellacions, classificació de triangles per congruència i semblança. - **Gràfics per computador:** pipelines amb matrius homogènies, càmera i perspectiva. - **Física:** invariància per isometries (simetries) i lleis de conservació (Noether, en context avançat).

## 10. Conclusions

Les transformacions del pla i de l'espai s'organitzen jeràrquicament: lineals ⊂ afins ⊂ projectives, i dins les afins destaquen isometries i similituds. L'estructura matricial permet estudiar composició, inverses i invariants (distància, angle, paral·lelisme, raó doble). Aquesta visió unifica geometria clàssica i aplicacions modernes.