📋 RESUM: Integració múltiple
**Integrals dobles:**
• Teorema de Fubini: ∬_R f dA = ∫∫ f(x,y) dy dx (ordre intercanviable)
• Tipus I: límits y = g₁(x) a g₂(x); Tipus II: límits x = h₁(y) a h₂(y)
• Coordenades polars: dA = r dr dθ
**Integrals triples:**
• Coordenades cilíndriques: dV = r dr dθ dz
• Coordenades esfèriques: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ
**Canvi de variables:**
• ∬_R f(x,y) dA = ∬_S f(T(u,v)) |J| du dv
• Jacobià: J = det(∂(x,y)/∂(u,v))
**Aplicacions:**
• Àrea/Volum: ∬1 dA, ∭1 dV
• Massa: ∬ρ dA, centre de massa: x̄ = (1/M)∬xρ dA
• Moments d'inèrcia: Ix = ∬y²ρ dA
• Àrea de superfícies: ∬√(1 + fx² + fy²) dA
Desarrollo del tema
# INTEGRACIÓ MÚLTIPLE
## 1. Introducció
La **integració múltiple** estén el concepte d'integral de Riemann a funcions de diverses variables. Permet calcular volums, masses, centres de gravetat i altres magnituds en dimensions superiors. Les integrals dobles i triples són fonamentals en física, enginyeria i matemàtica aplicada.
## 2. Integrals Dobles
### 2.1 Definició sobre rectangles
Sigui $f: R \to \mathbb{R}$ fitada, on $R = [a,b] \times [c,d]$ és un rectangle.
Una **partició** de $R$ és $P = P_x \times P_y$ on $P_x$ parteix $[a,b]$ i $P_y$ parteix $[c,d]$, creant subrectangles $R_{ij}$.
Si $f$ és contínua en $R = [a,b] \times [c,d]$:
$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy$$
Les **integrals iterades** es poden calcular en qualsevol ordre.
### 2.3 Regions generals
**Regió de tipus I:** $D = \{(x,y) : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$
$$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$
**Regió de tipus II:** $D = \{(x,y) : c \leq y \leq d, \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$
$$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$
**Exemple:** Calcular $\iint_D xy\,dA$ on $D$ és el triangle amb vèrtexs $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$.
2. **Additivitat:** Si $D = D_1 \cup D_2$ amb interiors disjunts:
$\iint_D f = \iint_{D_1} f + \iint_{D_2} f$
3. **Monotonia:** Si $f \leq g$ en $D$, llavors $\iint_D f \leq \iint_D g$
4. **Àrea:** $\text{Àrea}(D) = \iint_D 1\,dA$
## 3. Integrals Triples
### 3.1 Definició
Per a una funció $f: E \to \mathbb{R}$ en una regió $E \subseteq \mathbb{R}^3$:
$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \lim_{\|P\| \to 0} \sum f(x_i^*, y_i^*, z_i^*) \Delta V_i$$
### 3.2 Teorema de Fubini (3D)
Si $f$ és contínua i $E = \{(x,y,z) : (x,y) \in D, \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y)\}$:
$$\iiint_E f\,dV = \iint_D \left[\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA$$
### 3.3 Coordenades cilíndriques
$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z$$
La integració múltiple és una eina fonamental per calcular quantitats físiques i geomètriques en dimensions superiors. El teorema de Fubini permet reduir integrals múltiples a iterades, i els canvis de coordenades (polars, cilíndriques, esfèriques) simplifiquen problemes amb simetria. El domini d'aquestes tècniques és essencial en física i enginyeria.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
