El **determinant** és una funció que assigna un escalar a cada matriu quadrada, codificant informació essencial sobre invertibilitat, volum i orientació. Va ser introduït per **Leibniz** (1693) i sistematitzat per **Cramer**, **Vandermonde** i especialment **Cauchy** al segle XIX.
## 2. Definició Axiomàtica
El **determinant** és l'única funció $\det: \mathcal{M}_n(K) \to K$ que satisfà:
**(D1) Multilinealitat per files:** $\det$ és lineal en cada fila quan les altres es mantenen fixes:
$$\det\begin{pmatrix} \vdots \\ \lambda F_i + \mu F'_i \\ \vdots \end{pmatrix} = \lambda \det\begin{pmatrix} \vdots \\ F_i \\ \vdots \end{pmatrix} + \mu \det\begin{pmatrix} \vdots \\ F'_i \\ \vdots \end{pmatrix}$$
**(D2) Alternada:** Si dues files són iguals, el determinant és zero.
on:
- $S_n$ és el grup de permutacions de $\{1, 2, \ldots, n\}$ ($n!$ elements)
- $\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}$ és la **signatura** (inversions de $\sigma$)
### Casos particulars
**Ordre 2:**
$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$
**Ordre 3 (regla de Sarrus):**
$$\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$
## 4. Propietats Fonamentals
### Efecte de les operacions elementals
1. **Intercanvi de files:** $\det(A') = -\det(A)$
2. **Multiplicar fila per $\lambda$:** $\det(A') = \lambda \det(A)$
3. **Sumar múltiple d'una fila a una altra:** $\det(A') = \det(A)$
$\text{rang}(A) = r$ si i només si:
- Existeix un menor $r \times r$ amb determinant no nul
- Tots els menors de mida $(r+1) \times (r+1)$ tenen determinant zero
### 7.3 Àrea i volum
**Àrea del paral·lelogram** en $\mathbb{R}^2$ determinat per vectors $\vec{u} = (u_1, u_2)$ i $\vec{v} = (v_1, v_2)$:
$$\text{Àrea} = \left| \det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} \right| = |u_1 v_2 - u_2 v_1|$$
**Volum del paral·lelepípede** en $\mathbb{R}^3$:
$$\text{Volum} = |\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|$$
El pla que passa per $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ i conté els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$:
$$\det\begin{pmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = 0$$
**Aplicació:** $V_n \neq 0$ si i només si els $x_i$ són tots diferents (interpolació polinòmica).
### 8.2 Determinant de matriu per blocs
Si $A$ és quadrada i $M = \begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix}$:
$$\det(M) = \det(A) \cdot \det(D)$$
(O és matriu de zeros; D quadrada)
### 8.3 Determinant circulant
Matriu circulant amb primera fila $(c_0, c_1, \ldots, c_{n-1})$:
$$\det(C) = \prod_{j=0}^{n-1} \left( \sum_{k=0}^{n-1} c_k \omega^{jk} \right)$$
on $\omega = e^{2\pi i/n}$ és una arrel $n$-èsima primitiva de la unitat.
## 9. Relació amb Autovalors
Si $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ són els autovalors de $A$ (comptant multiplicitat):
$$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$$
Això connecta determinants amb teoria espectral.
## 10. Interpretació Geomètrica
Per a una aplicació lineal $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ amb matriu $A$:
- $|\det(A)|$ = factor d'escala del volum (àrea en 2D)
- $\text{sgn}(\det(A))$ = conservació (+) o inversió (-) de l'orientació
**Exemple:** $\det(R_\theta) = 1$ (rotació preserva àrea i orientació), $\det(S) = -1$ per a reflexió (inverteix orientació).
## 11. Aplicacions Didàctiques
### 11.1 Batxillerat
- **Regla de Sarrus:** Mnemotècnica visual per a determinants 3×3
- **Cramer:** Resolució de sistemes 2×2 i 3×3
- **Geometria:** Àrea de triangles, colinealitat de punts
### 11.2 Universitat
- **Definició formal:** Permutacions i signatura
- **Propietats abstractes:** Multilinealitat, caràcter alternat
- **Connexions:** Autovalors, formes diferencials (jacobià)
## 12. Conclusions
El determinant és un invariant escalar fonamental de les matrius quadrades. Caracteritza la invertibilitat, mesura volums i orientacions, i connecta àlgebra lineal amb geometria. Els mètodes de càlcul (escalonament, Laplace) permeten abordar determinants de qualsevol ordre.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
