📋 RESUM: Semblances i aplicacions
**Definició:** Transformació que multiplica distàncies per k: d(f(P), f(Q)) = k·d(P, Q).
**Homotècia H_{O,k}:** Centre O, raó k. Formula: P' = O + k(P - O).
• Punt fix: només el centre O
• Rectes → rectes paral·leles (o elles mateixes si passen per O)
• Composició: H_{O,k₁} ∘ H_{O,k₂} = H_{O,k₁k₂}
**Descomposició:** Semblança = Isometria ∘ Homotècia.
**Propietats:**
• Preserva angles i proporcions
• Àrees es multipliquen per k²
• Volums es multipliquen per k³
**Triangles semblants - Criteris:** AA, LAL, LLL.
**Teoremes clàssics:**
• Tales: segments proporcionals sobre transversals
• Altura: h² = m·n
• Catet: a² = c·m
**Raó àuria:** φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618.
**Aplicacions:** Escales de mapes (1:n lineal, 1:n² àrees), maquetes, fotografia, microscòpia, fractals.
Desarrollo del tema
# SEMBLANCES. APLICACIONS
## 1. Introducció
Les **semblances** són transformacions geomètriques que preserven la forma de les figures, però no necessàriament la mida. Generalitzen les isometries afegint la possibilitat d'ampliar o reduir les figures proporcionalment.
El concepte de semblança és fonamental en geometria, cartografia, art, arquitectura i moltes altres disciplines on es treballa amb models a escala o reproduccions proporcionals.
## 2. Definició i Propietats
### 2.1 Definició Formal
**Definició:** Una aplicació $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ és una **semblança** de raó $k > 0$ si:
$$d(f(P), f(Q)) = k \cdot d(P, Q) \quad \forall P, Q$$
**Casos particulars:**
- Si $k = 1$: la semblança és una **isometria**
- Si $k > 1$: **ampliació**
- Si $k < 1$: **reducció**
Per construir $P' = H_{O,k}(P)$:
1. Traçar la semirecta $\overrightarrow{OP}$
2. Sobre aquesta semirecta (o la prolongació si $k < 0$), marcar $P'$ tal que $|OP'| = |k| \cdot |OP|$
## 4. Classificació de les Semblances
### 4.1 Teorema de Descomposició
**Teorema:** Tota semblança es pot descompondre com:
$$\text{Semblança} = \text{Isometria} \circ \text{Homotècia}$$
O equivalentment:
$$\text{Semblança} = \text{Homotècia} \circ \text{Isometria}$$
### 4.2 Semblances Directes i Inverses
**Semblança directa:** Preserva l'orientació
- Composició d'homotècia i isometria directa (translació o rotació)
- Forma matricial: $\det > 0$
**Semblança inversa:** Inverteix l'orientació
- Composició d'homotècia i isometria inversa (reflexió)
- Forma matricial: $\det < 0$
### 4.3 Forma General
Tota semblança del pla s'expressa com:
$$f(x, y) = (ax - \varepsilon by + c, bx + \varepsilon ay + d)$$
Dues figures $F$ i $F'$ són **semblants** (escrivim $F \sim F'$) si existeix una semblança $f$ tal que $f(F) = F'$.
### 5.2 Triangles Semblants
**Criteris de semblança de triangles:**
1. **Criteri AA (angle-angle):** Dos angles iguals
$$\angle A = \angle A', \quad \angle B = \angle B' \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$
2. **Criteri LAL (costat-angle-costat):** Costats proporcionals i angle comprès igual
$$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = k, \quad \angle A = \angle A' \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$
Si $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ amb raó $k$:
- Costats: $A'B' = k \cdot AB$, etc.
- Perímetres: $P' = k \cdot P$
- Alçades: $h' = k \cdot h$
- Àrees: $S' = k^2 \cdot S$
## 6. Teoremes Clàssics
### 6.1 Teorema de Tales
Si tres o més rectes paral·leles tallen dues transversals, els segments determinats sobre una transversal són proporcionals als determinats sobre l'altra:
- **Formalització:** Definició de semblança, demostracions
- **Transformacions:** Composició, grup de semblances
- **Aplicacions avançades:** Espiral logarítmica, fractals
## 12. Conclusions
Les semblances generalitzen les isometries permetent canvis d'escala. L'homotècia és la semblança fonamental, i tota semblança es descomposa en homotècia i isometria. Els teoremes clàssics (Tales, triangles semblants) tenen nombroses aplicacions pràctiques en cartografia, arquitectura, art i ciència. La raó àuria i els fractals connecten les semblances amb patrons naturals i artístics.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
