📋 RESUM: Matrius i aplicacions
• **Definició:** Taula $m \times n$ d'elements d'un cos. $\mathcal{M}_{m \times n}(K)$ és espai vectorial de dimensió $mn$
• **Operacions:** Suma (element a element), producte per escalar, producte de matrius (no commutatiu!): $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$
• **Transposada:** $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Propietat clau: $(AB)^T = B^T A^T$
• **Matrius especials:** Simètrica ($A^T = A$), antisimètrica ($A^T = -A$), ortogonal ($Q^T Q = I$), diagonal, triangular
• **Inversa:** $A^{-1}$ existeix ⟺ $\det(A) \neq 0$ ⟺ $\text{rang}(A) = n$. Càlcul: Gauss-Jordan o adjunta
• **Rang:** Nombre màxim de files/columnes LI. Es calcula escalonant
• **Operacions elementals:** Intercanvi, escalat, combinació de files → forma escalonada
• **Aplicacions:** Sistemes lineals, transformacions geomètriques, grafs, cadenes de Markov, imatges
Desarrollo del tema
# MATRIUS. APLICACIONS
## 1. Introducció
Les **matrius** són objectes matemàtics fonamentals que organitzen informació numèrica en files i columnes. Apareixen de manera natural com a representacions d'aplicacions lineals, sistemes d'equacions, grafs, transformacions geomètriques i en moltes aplicacions de la ciència i l'enginyeria.
El terme "matriu" va ser introduït per **James Joseph Sylvester** el 1850, mentre que **Arthur Cayley** va desenvolupar l'àlgebra matricial sistemàticament el 1858.
## 2. Definicions Bàsiques
Una **matriu** $A$ de dimensió $m \times n$ sobre un cos $K$ és una taula rectangular de $m$ files i $n$ columnes d'elements de $K$:
- **Simètrica:** $A^T = A$ (equivalent a $a_{ij} = a_{ji}$)
- **Antisimètrica:** $A^T = -A$ (equivalent a $a_{ij} = -a_{ji}$, i per tant $a_{ii} = 0$)
**Teorema:** Tota matriu quadrada es descompon de manera única com a suma d'una simètrica i una antisimètrica:
$$A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$$
### 4.3 Matrius ortogonals
Una matriu quadrada $Q$ és **ortogonal** si $Q^T Q = Q Q^T = I$, és a dir, $Q^{-1} = Q^T$.
**Propietats:**
- Les columnes (i files) de $Q$ formen una base ortonormal
- $\det(Q) = \pm 1$
- Preserven longituds i angles: $\|Qv\| = \|v\|$
- Exemples: matrius de rotació, reflexió
## 5. Matriu Inversa
Una matriu quadrada $A \in \mathcal{M}_n(K)$ és **invertible** (o regular) si existeix $B \in \mathcal{M}_n(K)$ tal que:
$$AB = BA = I_n$$
En aquest cas, $B$ és única i s'escriu $B = A^{-1}$.
Una matriu $A \in \mathcal{M}_n(K)$ és invertible si i només si:
- $\det(A) \neq 0$
- $\text{rang}(A) = n$
- Les columnes (o files) són linealment independents
- $\ker(A) = \{0\}$ (com a aplicació lineal)
- El sistema $Ax = b$ té solució única per a tot $b$
### Càlcul de la inversa
**Mètode de Gauss-Jordan:** Aplicar operacions elementals a $(A | I)$ fins obtenir $(I | A^{-1})$.
**Fórmula amb adjunta:** $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
## 6. Rang d'una Matriu
El **rang** d'una matriu $A$, denotat $\text{rang}(A)$ o $\text{rk}(A)$, és:
- El nombre màxim de columnes (o files) linealment independents
- La dimensió de l'espai columna (o espai fila)
- L'ordre de la submatriu quadrada més gran amb determinant no nul
**Propietats:**
1. $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^T)$
2. $\text{rang}(A) \leq \min(m, n)$ per $A \in \mathcal{M}_{m \times n}$
3. $\text{rang}(AB) \leq \min(\text{rang}(A), \text{rang}(B))$
4. Si $P$ i $Q$ són invertibles: $\text{rang}(PAQ) = \text{rang}(A)$
### Càlcul del rang
S'utilitza l'**escalonament per files** (eliminació de Gauss): el rang és el nombre de files no nul·les de la forma escalonada.
## 7. Operacions Elementals i Forma Escalonada
### Operacions elementals per files
1. **Intercanvi:** Permutar dues files: $F_i \leftrightarrow F_j$
2. **Escalat:** Multiplicar una fila per escalar no nul: $F_i \to \lambda F_i$
3. **Combinació:** Sumar a una fila un múltiple d'una altra: $F_i \to F_i + \lambda F_j$
Cada operació correspon a multiplicar per una **matriu elemental** per l'esquerra.
### Forma escalonada per files
Una matriu està en **forma escalonada** si:
1. Les files nul·les estan a la part inferior
2. El primer element no nul de cada fila (pivot) està a la dreta del pivot de la fila anterior
**Forma escalonada reduïda:** A més, cada pivot és 1 i és l'únic element no nul de la seva columna.
## 8. Matrius i Aplicacions Lineals
### Correspondència fonamental
Fixades bases $B$ de $V$ i $B'$ de $W$, hi ha una bijecció:
$$\mathcal{L}(V, W) \longleftrightarrow \mathcal{M}_{m \times n}(K)$$
Cada aplicació lineal té una matriu associada, i cada matriu defineix una aplicació lineal.
### Matriu de canvi de base
Si $B$ i $B'$ són bases de $V$, la matriu $P_{B \to B'}$ satisfà:
$$[v]_{B'} = P_{B \to B'}^{-1} [v]_B$$
## 9. Potències de Matrius i Diagonalització
### Potències
Per a $A \in \mathcal{M}_n$: $A^0 = I$, $A^k = A \cdot A^{k-1}$.
Si $A$ és **diagonalitzable** ($A = PDP^{-1}$ amb $D$ diagonal):
$$A^k = P D^k P^{-1}$$
on $D^k$ és fàcil de calcular (elevar cada element diagonal a la $k$).
### Exponencial de matrius
$$e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots$$
Important en sistemes d'equacions diferencials lineals: $x'(t) = Ax(t)$ té solució $x(t) = e^{At} x(0)$.
## 10. Aplicacions de les Matrius
### 10.1 Sistemes d'equacions lineals
El sistema $Ax = b$ s'analitza amb el rang de $A$ i de $(A|b)$:
- Compatible determinat si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) = n$
- Compatible indeterminat si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) < n$
- Incompatible si $\text{rang}(A) < \text{rang}(A|b)$
### 10.2 Transformacions geomètriques
En $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{R}^3$: rotacions, reflexions, projeccions, escalats s'expressen com a productes matricials.
La **matriu d'adjacència** $A$ d'un graf té $a_{ij} = 1$ si hi ha aresta de $i$ a $j$. $(A^k)_{ij}$ compta camins de longitud $k$.
### 10.4 Cadenes de Markov
Una **matriu estocàstica** (columnes sumen 1) representa probabilitats de transició. El vector estacionari és autovector amb autovalor 1.
### 10.5 Processament d'imatges
Convolucions, filtres i transformacions d'imatges s'implementen amb operacions matricials.
## 11. Aplicacions Didàctiques
### 11.1 ESO i Batxillerat
- **Introducció visual:** Taules de dades, fulls de càlcul
- **Transformacions:** GeoGebra per visualitzar rotacions, reflexions
- **Sistemes:** Mètode de Gauss pas a pas
### 11.2 Universitat
- **Abstracció:** Matrius com a representacions d'aplicacions lineals
- **Computació:** Algoritmes eficients, complexitat
- **Aplicacions avançades:** Valors propis, SVD, PCA
## 12. Conclusions
Les matrius són l'eina computacional de l'àlgebra lineal. Permeten representar aplicacions lineals, resoldre sistemes d'equacions i modelar transformacions. La seva teoria connecta àlgebra, geometria i anàlisi numèrica.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
