T28. Equacions diferencials ordinàries

Desarrollo del tema

# EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES

## 1. Introducció

Una **equació diferencial ordinària** (EDO) és una relació entre una funció desconeguda $y(x)$ i les seves derivades respecte d’una sola variable independent $x$. Les EDO modelitzen multitud de processos: creixement poblacional, circuits elèctrics, oscil·ladors mecànics, cinètica química, etc.

L’objectiu és trobar la **solució general** (família de solucions) i, amb condicions inicials o de contorn, una **solució particular**.

## 2. Conceptes bàsics

### 2.1 Ordre i grau

- **Ordre:** l’ordre màxim de derivada que apareix (p. ex. $y''$ ⇒ ordre 2). - **Grau:** potència de la derivada de major ordre quan l’equació és polinòmica en derivades.

### 2.2 Solució general i particular

Una EDO d’ordre $n$ té, sota hipòtesis adequades, una família de solucions amb $n$ constants arbitràries.

Un **problema de valor inicial (PVI)** dona condicions en un punt $x_0$:

$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\dots, y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$

## 3. EDO de primer ordre

### 3.1 Equacions separables

Forma: $y'=g(x)h(y)$.

$$\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx \Rightarrow \int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx + C.$$

**Exemple:** $y'=ky$ ⇒ $\frac{dy}{y}=kdx$ ⇒ $y=Ce^{kx}$.

### 3.2 Equacions lineals de primer ordre

Forma: $y'+p(x)y=q(x)$.

**Factor integrant:**

$$\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.$$

Multiplicant:

$$\mu y'+\mu p y=(\mu y)'=\mu q.$$

Solució:

$$y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\right).$$

### 3.3 Equació de Bernoulli

$$y'+p(x)y=q(x)y^\alpha,\quad \alpha\neq 0,1.$$

Substitució: $v=y^{1-\alpha}$.

S’obté una equació lineal en $v$:

$$v'+(1-\alpha)p(x)v=(1-\alpha)q(x).$$

### 3.4 Equacions homogènies (de primer ordre)

Forma: $y'=F(y/x)$.

Substitució: $y=vx$ ⇒ $y'=v+xv'$ i queda separable en $v$.

### 3.5 Equacions exactes

Forma: $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$.

És **exacta** si $M_y=N_x$.

Aleshores existeix $\Phi(x,y)$ tal que $d\Phi=Mdx+Ndy$ i la solució és:

$$\Phi(x,y)=C.$$

Si no és exacta, es pot cercar un **factor integrant** $\mu(x)$ o $\mu(y)$ sota condicions clàssiques.

## 4. EDO de segon ordre lineals

### 4.1 Forma general

$$a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x).$$

Si $g=0$, és **homogènia**.

### 4.2 Coeficients constants

Homogènia:

$$y''+ay'+by=0.$$

Proposem $y=e^{rx}$ ⇒ equació característica:

$$r^2+ar+b=0.$$

- **Arrels reals diferents** $r_1\neq r_2$: $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ - **Arrel doble** $r$: $y=(C_1+C_2x)e^{rx}$ - **Complexes** $r=\alpha\pm i\beta$: $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

### 4.3 No homogènia: coeficients constants

$$y''+ay'+by=g(x).$$

Solució general: $y=y_h+y_p$.

**Mètode de coeficients indeterminats:** si $g(x)$ és combinació de polinomis, exponencials i trigonomètriques.

**Variació de paràmetres:** aplicable en general:

Si $y_1,y_2$ són solucions independents de l’homogènia, cerquem $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ amb:

$$u_1'=-\frac{y_2 g}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1 g}{W},\qquad W=y_1y_2'-y_1'y_2.$$

### 4.4 Reducció d’ordre

Si coneixem una solució $y_1$ de l’homogènia, cerquem $y=v y_1$ i obtenim una EDO de primer ordre per a $v'$.

## 5. Sistemes lineals d’EDO

Forma matricial:

$$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}(t).$$

Homogeni: $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$.

Solució: $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$, on $e^{At}$ és l’exponencial de matriu.

Estudi qualitatiu via valors propis d’$A$ (nodes, focus, sella) en dimensió 2.

## 6. Existència i unicitat

Per al PVI $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$:

**Picard–Lindelöf:** si $f$ és contínua en un rectangle i lipschitziana en $y$ (p. ex. $\partial f/\partial y$ contínua), existeix una solució única en un interval al voltant de $x_0$.

**Peano:** si $f$ és només contínua, existeix solució però pot no ser única.

## 7. Estabilitat i anàlisi qualitativa

Per a equacions autònomes $y'=F(y)$:

- Punts d’equilibri: $F(y^*)=0$. - Estabilitat: si $F'(y^*)<0$ estable; si $F'(y^*)>0$ inestable.

Per a sistemes 2D, l’estudi del camp vectorial i l’anàlisi lineal (matriu jacobiana al punt crític) dona classificació local.

## 8. Aplicacions modelitzadores

- **Creixement logístic:** $y'=ry(1-y/K)$ ⇒ solució sigmoïdal. - **Llei de Newton de refredament:** $T'= -k(T-T_a)$. - **Oscil·lador harmònic:** $y''+\omega^2 y=0$ ⇒ sinus/cosinus. - **Amortit i forçat:** $y''+2\gamma y'+\omega_0^2 y=F\cos(\Omega t)$.

## 9. Conclusions

Les EDO constitueixen un llenguatge central per a la modelització. És essencial dominar les famílies resolubles de primer ordre (separables, lineals, Bernoulli, exactes) i les EDO lineals de segon ordre amb coeficients constants. A més, els teoremes d’existència i unicitat i l’estudi qualitatiu aporten una visió global del comportament de les solucions.