📋 RESUM: Equacions diferencials ordinàries
• EDO: relació entre y(x) i les seves derivades; ordre = derivada màxima.
• Primer ordre:
– Separable: y'=g(x)h(y) ⇒ ∫dy/h(y)=∫g(x)dx.
– Lineal: y'+p(x)y=q(x), factor integrant μ=e^{∫p} ⇒ (μy)'=μq.
– Bernoulli: y'+py=qy^α ⇒ v=y^{1-α} lineal.
– Homogènia: y'=F(y/x), substitució y=vx.
– Exacta: Mdx+Ndy=0 amb M_y=N_x ⇒ Φ(x,y)=C.
• Segon ordre lineal (coef. constants): y''+ay'+by=0 ⇒ característica r²+ar+b=0.
– Arrels reals, doble o complexes ⇒ formes conegudes.
– No homogènia: y=y_h+y_p (coeficients indeterminats o variació de paràmetres).
• Sistemes lineals: x'=Ax+b(t), solució amb e^{At}.
• Existència i unicitat: Picard–Lindelöf (continuïtat + Lipschitz en y) ⇒ solució única.
• Qualitatiu: punts d’equilibri i estabilitat en autònomes; classificació per valors propis en 2D.
Desarrollo del tema
# EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES
## 1. Introducció
Una **equació diferencial ordinària** (EDO) és una relació entre una funció desconeguda $y(x)$ i les seves derivades respecte d’una sola variable independent $x$. Les EDO modelitzen multitud de processos: creixement poblacional, circuits elèctrics, oscil·ladors mecànics, cinètica química, etc.
L’objectiu és trobar la **solució general** (família de solucions) i, amb condicions inicials o de contorn, una **solució particular**.
## 2. Conceptes bàsics
### 2.1 Ordre i grau
- **Ordre:** l’ordre màxim de derivada que apareix (p. ex. $y''$ ⇒ ordre 2).
- **Grau:** potència de la derivada de major ordre quan l’equació és polinòmica en derivades.
Si coneixem una solució $y_1$ de l’homogènia, cerquem $y=v y_1$ i obtenim una EDO de primer ordre per a $v'$.
## 5. Sistemes lineals d’EDO
Forma matricial:
$$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}(t).$$
Homogeni: $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$.
Solució: $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$, on $e^{At}$ és l’exponencial de matriu.
Estudi qualitatiu via valors propis d’$A$ (nodes, focus, sella) en dimensió 2.
## 6. Existència i unicitat
Per al PVI $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$:
**Picard–Lindelöf:** si $f$ és contínua en un rectangle i lipschitziana en $y$ (p. ex. $\partial f/\partial y$ contínua), existeix una solució única en un interval al voltant de $x_0$.
**Peano:** si $f$ és només contínua, existeix solució però pot no ser única.
## 7. Estabilitat i anàlisi qualitativa
Per a equacions autònomes $y'=F(y)$:
- Punts d’equilibri: $F(y^*)=0$.
- Estabilitat: si $F'(y^*)<0$ estable; si $F'(y^*)>0$ inestable.
Per a sistemes 2D, l’estudi del camp vectorial i l’anàlisi lineal (matriu jacobiana al punt crític) dona classificació local.
## 8. Aplicacions modelitzadores
- **Creixement logístic:** $y'=ry(1-y/K)$ ⇒ solució sigmoïdal.
- **Llei de Newton de refredament:** $T'= -k(T-T_a)$.
- **Oscil·lador harmònic:** $y''+\omega^2 y=0$ ⇒ sinus/cosinus.
- **Amortit i forçat:** $y''+2\gamma y'+\omega_0^2 y=F\cos(\Omega t)$.
## 9. Conclusions
Les EDO constitueixen un llenguatge central per a la modelització. És essencial dominar les famílies resolubles de primer ordre (separables, lineals, Bernoulli, exactes) i les EDO lineals de segon ordre amb coeficients constants. A més, els teoremes d’existència i unicitat i l’estudi qualitatiu aporten una visió global del comportament de les solucions.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
