📋 RESUM: Sistemes de referència i canvis de sistema
**Sistema de referència:** origen + eixos (base) + unitats. Un punt P té coordenades segons la base: OP = x e1 + y e2 (+ z e3).
**Coordenades polars:** x = r cosθ, y = r sinθ; r = √(x²+y²).
**Cilíndriques:** (r,θ,z). **Esfèriques:** x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ.
**Canvi de base:** per a bases B i B', [v]_B = P_{B←B'} [v]_{B'}. La matriu de canvi té com columnes els vectors de B' expressats en B. Invers: P_{B'←B} = (P_{B←B'})^{-1}.
**Canvi de representació d’un operador:** A' = P_{B'←B} A P_{B←B'}.
**Canvi de sistema geomètric:**
• Translació d’origen: (x,y) = (t_x,t_y) + (x',y')
• Rotació d’eixos: (x,y) = R_θ (x',y') amb R_θ ortogonal
• Combinació: (x,y) = t + R_θ (x',y')
**Aplicació:** simplificar equacions (circumferències, cònics) eliminant termes lineals (trasllat) o el terme mixt Bxy (rotació).
Desarrollo del tema
# SISTEMES DE REFERÈNCIA. CANVIS DE SISTEMA
## 1. Introducció
La descripció quantitativa del món físic i geomètric requereix **mesurar posicions** i **representar vectors i punts** mitjançant coordenades. Aquesta representació depèn de la tria d’un **sistema de referència**: origen, eixos i unitats. En geometria analítica i en física, canviar de sistema permet simplificar equacions, interpretar moviments i estudiar invariants.
En aquest tema tractarem sistemes de coordenades al pla i a l’espai (cartesianes, polars, cilíndriques i esfèriques), els **canvis de base** en espais vectorials, les transformacions entre sistemes (translacions i rotacions), i la representació matricial d’aquests canvis.
## 2. Sistemes de referència i coordenades
### 2.1 Sistema cartesià al pla
Un sistema cartesià al pla queda determinat per:
- Un origen $O$
- Dos vectors directors linealment independents $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ (normalment ortonormals)
Un punt $P$ té coordenades $(x,y)$ si:
$$\overrightarrow{OP} = x\,\vec{e}_1 + y\,\vec{e}_2$$
Si la base és ortonormal, llavors $x$ i $y$ són projeccions sobre eixos perpendiculars.
### 2.2 Sistema cartesià a l’espai
Amb una base $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$:
$$\overrightarrow{OP} = x\,\vec{e}_1 + y\,\vec{e}_2 + z\,\vec{e}_3$$
### 2.3 Coordenades polars (pla)
En polars, un punt s’expressa com $(r,\theta)$:
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta$$
$$r = \sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta = \operatorname{atan2}(y,x)$$
**Interpretació:** $r$ és la distància a l’origen i $\theta$ l’angle respecte l’eix $x$.
Una convenció habitual: $(\rho,\theta,\varphi)$ on $\rho$ és el radi, $\theta$ l’angle azimutal, $\varphi$ l’angle polar (des de l’eix $z$):
$$x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi$$
## 3. Espais vectorials, bases i coordenades
### 3.1 Coordenades d’un vector en una base
Sigui $V$ un espai vectorial de dimensió $n$ i $\mathcal{B}=(\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_n)$ una base. Tot vector $\vec{v}\in V$ s’escriu de manera única:
$$\vec{v} = \alpha_1\vec{b}_1 + \cdots + \alpha_n\vec{b}_n$$
El vector de coordenades és:
$$[\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}$$
### 3.2 Matriu de canvi de base
Donades dues bases $\mathcal{B}$ i $\mathcal{B}'$, definim la matriu de canvi de base $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}$ tal que:
$$[\vec{v}]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}\,[\vec{v}]_{\mathcal{B}'}$$
Les columnes de $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}$ són les coordenades, en la base $\mathcal{B}$, dels vectors de la base $\mathcal{B}'$:
$$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'} = \big([\vec{b}'_1]_{\mathcal{B}}\; [\vec{b}'_2]_{\mathcal{B}}\;\cdots\;[\vec{b}'_n]_{\mathcal{B}}\big)$$
Si $T:V\to V$ és lineal i $A=[T]_{\mathcal{B}}$, $A'=[T]_{\mathcal{B}'}$, llavors:
$$A' = P_{\mathcal{B}'\leftarrow \mathcal{B}}\;A\;P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}$$
Aquesta fórmula és clau per a diagonalització i canvis de coordenades.
## 4. Canvis de sistema en geometria analítica
En el pla i l’espai, un canvi de sistema acostuma a incloure:
- **Translació** de l’origen
- **Rotació** (canvi d’orientació dels eixos)
- (opcional) **canvi d’escala** o cisallament (en general afí)
En aquest tema ens centrem en translacions i rotacions (moviments rígids), que preserven distàncies.
### 4.1 Translació de l’origen
Sigui $O$ l’origen antic i $O'$ el nou origen. Si $\overrightarrow{OO'}=\vec{t}$, aleshores les coordenades d’un punt $P$ satisfan:
$$\overrightarrow{OP} = \vec{t} + \overrightarrow{O'P}$$
En coordenades cartesianes (mateixos eixos, origen desplaçat):
$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$$
és a dir:
$$x = x' + t_x,\qquad y = y' + t_y$$
Invers:
$$x' = x - t_x,\qquad y' = y - t_y$$
### 4.2 Rotació d’eixos (pla)
Considerem un sistema $S$ i un sistema $S'$ obtingut rotant els eixos un angle $\theta$ (positiu antihorari) mantenint el mateix origen.
La relació entre coordenades és:
$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = R_\theta\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix},\qquad R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$
Per tant:
$$x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,\qquad y = x'\sin\theta + y'\cos\theta$$
Invers (rotació de $-\theta$):
$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = R_{-\theta}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = R_\theta^T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
**Nota conceptual:** rotar els eixos $+\theta$ equival a rotar els punts $-\theta$.
### 4.3 Translació + rotació (canvi complet)
Si el nou origen és $O'$ i els nous eixos són els antics rotats $\theta$:
$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix} + R_\theta\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$$
### 4.4 Coordenades homogènies i transformacions afins
En coordenades homogènies, un punt $(x,y)$ és $(x,y,1)$ i una transformació afí s’escriu:
$$\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&t_x\\c&d&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}$$
Si $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ és ortogonal, tenim un moviment rígid.
## 5. Canvi de sistema i equacions de corbes
Canviar de sistema és una tècnica per simplificar equacions.
Considerem una circumferència:
$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$
Amb un trasllat $x=X-h$, $y=Y-k$ triant $h=-a/2$, $k=-b/2$, s’obté:
$$X^2+Y^2=R^2,\quad R^2=h^2+k^2-c$$
### 5.2 Exemple: eliminar terme mixt (rotació)
Una cònica general:
$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$
Amb una rotació d’angle $\theta$ es pot eliminar el terme $Bxy$ si:
$$\cot 2\theta = \frac{A-C}{B}$$
Això és molt útil per classificar cònics.
## 6. Sistemes de referència en física
### 6.1 Sistemes inercials i no inercials
- **Inercial:** un sistema on val la 1a llei de Newton (moviment rectilini uniforme si força neta zero)
- **No inercial:** sistema accelerat o en rotació; apareixen forces fictícies
Exemples de forces fictícies en un sistema en rotació:
- Força centrífuga
- Força de Coriolis
### 6.2 Canvi de referència i velocitats
Si $\vec{r} = \vec{r}_O + R\vec{r}'$ amb $R$ rotació i $\vec{r}_O$ translació, derivant respecte el temps:
$$\vec{v} = \dot{\vec{r}}_O + \dot{R}\vec{r}' + R\dot{\vec{r}}'$$
Quan $R$ depèn del temps (eixos rotatoris), apareix el terme $\dot{R}\vec{r}'$ relacionat amb la velocitat angular.
## 7. Exemple complet resolt
Donada l’equació:
$$x^2+y^2-4x+6y-12=0$$
Fem el canvi $x=X+2$, $y=Y-3$ (és a dir, $X=x-2$, $Y=y+3$):
És una circumferència de centre $(2,-3)$ i radi 5.
## 8. Didàctica
- Visualitzar canvis de sistema amb GeoGebra (desplaçar eixos, girar-los)
- Connectar amb problemes reals: mapes, navegació, referència d’un vehicle
- Treballar la diferència entre “rotar eixos” i “rotar punts”
- Insistir en la idea d’invariant: la figura geomètrica és la mateixa encara que canviïn les coordenades
## 9. Conclusions
Els sistemes de referència són una elecció de base i origen per descriure punts i vectors. Canviar de sistema equival a reescriure coordenades mitjançant translacions i rotacions (o, en general, transformacions afins). La formulació matricial unifica els procediments i és imprescindible tant en geometria analítica (simplificació d’equacions) com en física (canvi de marc de referència).
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
