En l'anàlisi matemàtica, el concepte de successió és fonamental. Una successió ens permet estudiar el comportament de col·leccions infinites i ordenades de nombres, la qual cosa és la base per a la definició de conceptes tan crucials com la convergència, les sèries, la continuïtat de funcions i el càlcul diferencial i integral.
## 1. Definició Formal de Successió
Una **successió de nombres reals** és, formalment, una aplicació del conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$ al conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$:
$$a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto a_n$$
A cada nombre natural $n \in \mathbb{N}$ (l'índex) li correspon un únic nombre real $a_n$ (el **terme n-èsim** o **terme general**).
La successió es representa com $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(a_n)$, o llistant els termes: $a_1, a_2, a_3, \ldots$
Una successió $(a_n)$ és:
- **Creixent** si $a_n \le a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$
- **Estrictament creixent** si $a_n < a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$
- **Decreixent** si $a_n \ge a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$
- **Estrictament decreixent** si $a_n > a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$
- **Monòtona** si és creixent o decreixent
**Exemples:**
- $a_n = n^2$ és estrictament creixent
- $a_n = \frac{1}{n}$ és estrictament decreixent
- $a_n = (-1)^n$ no és monòtona
## 3. Propietats: Fitació
Una successió $(a_n)$ és:
- **Fitada superiorment** si $\exists K \in \mathbb{R}: a_n \le K, \forall n$
- **Fitada inferiorment** si $\exists k \in \mathbb{R}: a_n \ge k, \forall n$
- **Fitada** si és fitada superiorment i inferiorment, equivalent a $\exists M > 0: |a_n| \le M, \forall n$
**Exemples:**
- $a_n = \frac{1}{n}$ és fitada ($0 < a_n \le 1$)
- $a_n = n^2$ és fitada inferiorment però no superiorment
- $a_n = \sin(n)$ és fitada ($|a_n| \le 1$)
## 4. Límit d'una Successió (Definició ε-N)
**Definició:** Diem que $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ si i només si:
$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$
**Interpretació:**
- Per a qualsevol tolerància $\varepsilon$ (per petita que sigui)
- Existeix un índex $N$ a partir del qual
- Tots els termes $a_n$ estan a distància menor que $\varepsilon$ de $L$
- És a dir, $a_n \in (L-\varepsilon, L+\varepsilon)$
**Exemple:** Demostrem que $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$
Es compleix si $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Prenem $N > \frac{1}{\varepsilon}$.
## 5. Successions Convergents i Divergents
- **Convergent:** Si $\exists L \in \mathbb{R}: \lim_{n \to \infty} a_n = L$
- **Divergent:** Si no és convergent. Tipus:
- **A $+\infty$:** $\forall M > 0, \exists N: n \ge N \Rightarrow a_n > M$
- **A $-\infty$:** $\forall M < 0, \exists N: n \ge N \Rightarrow a_n < M$
- **Oscil·lant:** Fluctua sense convergir (ex: $a_n = (-1)^n$)
## 6. Teoremes Fonamentals
### Unicitat del Límit
Si $(a_n)$ convergeix, el límit és únic.
**Demostració:** Per reducció a l'absurd. Si $L_1 \ne L_2$ fossin límits, amb $\varepsilon = \frac{|L_1-L_2|}{2}$:
$$|L_1 - L_2| \le |L_1 - a_n| + |a_n - L_2| < 2\varepsilon = |L_1 - L_2|$$
Contradicció.
### Àlgebra de Límits
Si $\lim a_n = L$ i $\lim b_n = M$:
- $\lim (a_n \pm b_n) = L \pm M$
- $\lim (k \cdot a_n) = k \cdot L$
- $\lim (a_n \cdot b_n) = L \cdot M$
- $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}$ (si $M \ne 0$)
### Successions Monòtones Fitades
**Teorema:** Tota successió monòtona i fitada és convergent.
- Si $(a_n)$ és creixent i fitada superiorment: $\lim a_n = \sup\{a_n\}$
- Si $(a_n)$ és decreixent i fitada inferiorment: $\lim a_n = \inf\{a_n\}$
Aquest teorema utilitza la **completesa dels reals** (axioma del suprem).
## 7. Subsuccessions
Una **subsuccessió** de $(a_n)$ és $(a_{n_k})$ on $n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$
**Propietat:** Si $\lim a_n = L$, aleshores $\lim a_{n_k} = L$ per a tota subsuccessió.
**Contrarecíproc:** Si existeixen dues subsuccessions amb límits diferents, la successió no convergeix.
**Exemple:** $a_n = (-1)^n$
- Subsuccessió parella: $a_{2k} = 1 \to 1$
- Subsuccessió senar: $a_{2k-1} = -1 \to -1$
- Com que $1 \ne -1$, $(a_n)$ no convergeix.
## 8. Teorema de Bolzano-Weierstrass
**Teorema:** Tota successió fitada de nombres reals té, com a mínim, una subsuccessió convergent.
Aquest teorema és conseqüència de la completesa de $\mathbb{R}$ i és fonamental per a l'anàlisi real.
**Exemple:** $a_n = (-1)^n$ és fitada però no convergent. El teorema garanteix subsuccessions convergents (com les parelles i senars trobades abans).
### Criteri del Sandwich (Enquadrat)
Si $a_n \le b_n \le c_n$ i $\lim a_n = \lim c_n = L$, aleshores $\lim b_n = L$.
### Criteri de Stolz
Per a indeterminacions $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$:
Si $(b_n)$ és estrictament creixent i no fitada, i existeix:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L$$
Aleshores $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
