Moviments en el pla

📋 RESUM: Moviments en el pla i grup de moviments **Moviments bàsics:** • Translació: T_v(P) = P + v • Rotació: R_{C,θ} - gir d'angle θ al voltant de C • Reflexió: S_r - simetria respecte recta r • Simetria amb lliscament: reflexió + translació paral·lela **Composició de reflexions:** • Eixos paral·lels (dist. d) → Translació (mòdul 2d) • Eixos secants (angle α) → Rotació (angle 2α) **Composició de rotacions:** • Mateix centre: R_{O,α} ∘ R_{O,β} = R_{O,α+β} • Centres diferents: rotació (si α+β ≠ 0) o translació (si α+β = 0) **Grup euclidià E(2):** • Estructura: E(2) ≅ ℝ² ⋊ O(2) • Subgrup directe E⁺(2): translacions + rotacions • Representació matricial amb coordenades homogènies (3×3) **Grups de simetria discrets:** • Puntuals: cíclics C_n, dièdrics D_n • Frisos: 7 tipus • Cristal·logràfics: 17 tipus (paper pintat) **Aplicacions:** Geometria computacional, art (Escher), cristal·lografia, física (teorema de Noether).