📋 RESUM: Espais vectorials
• **Definició:** Conjunt V amb suma i producte per escalars que satisfà 8 axiomes (4 de grup abelià per la suma, 2 del producte, 2 distributius)
• **Exemples:** $\mathbb{R}^n$, polinomis $\mathbb{R}[x]_n$, matrius $\mathcal{M}_{m \times n}$, funcions contínues $\mathcal{C}[a,b]$
• **Subespais:** $W \subseteq V$ tancat per suma i producte escalar, amb $\vec{0} \in W$. Fórmula de Grassmann: $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$
• **Dependència lineal:** Vectors LD si existeix combinació lineal nul·la amb coeficients no tots zero
• **Base:** Conjunt LI i generador. Tot vector s'escriu de forma única com a combinació lineal dels vectors de la base
• **Dimensió:** Nombre d'elements de qualsevol base (invariant per Steinitz). $\dim(\mathbb{R}^n) = n$, $\dim(\mathbb{R}[x]_n) = n+1$
• **Canvi de base:** Matriu $P$ amb columnes = coordenades de la nova base en l'antiga. $[v]_B = P \cdot [v]_{B'}$
• **Espai quocient:** $V/W$ té dimensió $\dim V - \dim W$
OPOSGRATIS