Simulacre Oposicions Matemàtiques #1

Sigui A la matriu: A = | 1 2 k | | 2 k 1 | | k 1 2 | on k ∈ ℝ. a) Determina per a quins valors de k la matriu A és invertible. (0,5 punts) b) Per a k = 0, calcula A⁻¹ usant el mètode que prefereixis. (0,75 punts) c) Considera el sistema d'equacions lineals: x + 2y = 1 2x + z = 3 y + 2z = 2 Resol-lo utilitzant la matriu inversa calculada a l'apartat anterior. (0,75 punts)

**a) Valors de k per als quals A és invertible:** A és invertible si i només si det(A) ≠ 0. Calculem det(A) per la regla de Sarrus o desenvolupant per una fila: det(A) = 1·(k·2 - 1·1) - 2·(2·2 - 1·k) + k·(2·1 - k·k) = 1·(2k - 1) - 2·(4 - k) + k·(2 - k²) = 2k - 1 - 8 + 2k + 2k - k³ = -k³ + 6k - 9 = -(k³ - 6k + 9) = -(k - 3)(k² + 3k - 3) ← Factorització (es pot verificar dividint) Alternativament, trobem les arrels: k³ - 6k + 9 = 0 k = 3 és arrel. Dividint: k³ - 6k + 9 = (k - 3)(k² + 3k - 3) Les arrels de k² + 3k - 3 = 0 són: k = (-3 ± √21)/2 Per tant, A és invertible per a tot k ∈ ℝ excepte: **k₁ = 3, k₂ = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79, k₃ = (-3 - √21)/2 ≈ -3,79** **b) Càlcul de A⁻¹ per a k = 0:** A = | 1 2 0 | | 2 0 1 | | 0 1 2 | det(A) = -(0³ - 6·0 + 9) = -9 ≠ 0 ✓ Mètode de la matriu adjunta: A⁻¹ = (1/det(A)) · Adj(A)ᵀ Cofactors: C₁₁ = (0·2 - 1·1) = -1 C₁₂ = -(2·2 - 1·0) = -4 C₁₃ = (2·1 - 0·0) = 2 C₂₁ = -(2·2 - 0·1) = -4 C₂₂ = (1·2 - 0·0) = 2 C₂₃ = -(1·1 - 2·0) = -1 C₃₁ = (2·1 - 0·0) = 2 C₃₂ = -(1·1 - 2·0) = -1 C₃₃ = (1·0 - 2·2) = -4 Adj(A) = | -1 -4 2 | | -4 2 -1 | | 2 -1 -4 | A⁻¹ = (1/-9) · | -1 -4 2 |ᵀ = (-1/9) · | -1 -4 2 | | -4 2 -1 | | -4 2 -1 | | 2 -1 -4 | | 2 -1 -4 | **A⁻¹ = (1/9) · | 1 4 -2 |** **| 4 -2 1 |** **|-2 1 4 |** **c) Resolució del sistema:** El sistema és: Ax = b, on b = (1, 3, 2)ᵀ x = A⁻¹ · b = (1/9) · | 1 4 -2 | · | 1 | | 4 -2 1 | | 3 | |-2 1 4 | | 2 | x = (1/9) · | 1·1 + 4·3 + (-2)·2 | | 1 + 12 - 4 | | 9 | | 4·1 + (-2)·3 + 1·2 | = | 4 - 6 + 2 | = | 0 | |(-2)·1 + 1·3 + 4·2 | |-2 + 3 + 8 | | 9 | x = (1/9) · (9, 0, 9)ᵀ = (1, 0, 1)ᵀ **Solució: x = 1, y = 0, z = 1** Verificació: 1 + 2·0 = 1 ✓, 2·1 + 1 = 3 ✓, 0 + 2·1 = 2 ✓

Considera la funció f: ℝ → ℝ definida per: f(x) = (x² - 1) · e⁻ˣ a) Determina el domini, les asímptotes i els punts de tall amb els eixos. (0,5 punts) b) Estudia el creixement i decreixement de f. Troba els extrems relatius. (0,75 punts) c) Estudia la concavitat i convexitat. Troba els punts d'inflexió. (0,5 punts) d) Representa gràficament la funció indicant tots els elements estudiats. (0,25 punts)

**a) Domini, asímptotes i punts de tall:** Domini: f(x) = (x² - 1)·e⁻ˣ està definida ∀x ∈ ℝ. **Dom(f) = ℝ** Asímptotes verticals: No n'hi ha (f és contínua a tot ℝ) Asímptotes horitzontals: - lim(x→+∞) (x² - 1)·e⁻ˣ = lim(x→+∞) (x² - 1)/eˣ = [L'Hôpital] = lim 2x/eˣ = lim 2/eˣ = 0 - lim(x→-∞) (x² - 1)·e⁻ˣ = (+∞)·(+∞) = +∞ **AH: y = 0 quan x → +∞** Punts de tall: - Amb eix Y: f(0) = (0 - 1)·e⁰ = -1. **Punt (0, -1)** - Amb eix X: (x² - 1)·e⁻ˣ = 0 → x² - 1 = 0 (ja que e⁻ˣ ≠ 0) x = ±1. **Punts (-1, 0) i (1, 0)** **b) Creixement, decreixement i extrems:** f'(x) = d/dx[(x² - 1)·e⁻ˣ] = 2x·e⁻ˣ + (x² - 1)·(-e⁻ˣ) = e⁻ˣ·[2x - (x² - 1)] = e⁻ˣ·(-x² + 2x + 1) f'(x) = 0 ⟺ -x² + 2x + 1 = 0 ⟺ x² - 2x - 1 = 0 x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± √8)/2 = 1 ± √2 x₁ = 1 - √2 ≈ -0,41 x₂ = 1 + √2 ≈ 2,41 Signe de f'(x) = -e⁻ˣ·(x - x₁)·(x - x₂): - x < x₁: f'(x) < 0 (decreix) - x₁ < x < x₂: f'(x) > 0 (creix) - x > x₂: f'(x) < 0 (decreix) **Mínim relatiu en x = 1 - √2:** f(1-√2) = ((1-√2)² - 1)·e^(√2-1) = (2-2√2)·e^(√2-1) ≈ -1,19 **Màxim relatiu en x = 1 + √2:** f(1+√2) = ((1+√2)² - 1)·e^(-1-√2) = (2+2√2)·e^(-1-√2) ≈ 0,38 **c) Concavitat, convexitat i punts d'inflexió:** f''(x) = d/dx[e⁻ˣ·(-x² + 2x + 1)] = -e⁻ˣ·(-x² + 2x + 1) + e⁻ˣ·(-2x + 2) = e⁻ˣ·[(x² - 2x - 1) + (-2x + 2)] = e⁻ˣ·(x² - 4x + 1) f''(x) = 0 ⟺ x² - 4x + 1 = 0 ⟺ x = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 x₃ = 2 - √3 ≈ 0,27 x₄ = 2 + √3 ≈ 3,73 Signe de f''(x): - x < x₃: f''(x) > 0 (còncava cap amunt, convexa) - x₃ < x < x₄: f''(x) < 0 (còncava cap avall) - x > x₄: f''(x) > 0 (còncava cap amunt, convexa) **Punts d'inflexió:** - (2 - √3, f(2-√3)) ≈ (0,27, -0,66) - (2 + √3, f(2+√3)) ≈ (3,73, 0,12) **d) Gràfica:** [Dibuixar amb tots els elements: zeros en x=±1, mínim en x≈-0,41, màxim en x≈2,41, inflexions en x≈0,27 i x≈3,73, AH y=0 quan x→+∞]

Considera l'el·lipse d'equació: x²/9 + y²/4 = 1 a) Determina els semeixos, els focus i l'excentricitat de l'el·lipse. (0,5 punts) b) Calcula l'equació de les rectes tangents a l'el·lipse que passen pel punt P(5, 0). (0,75 punts) c) Siguin T₁ i T₂ els punts de tangència trobats a l'apartat anterior. Calcula l'àrea del triangle format per P, T₁ i T₂. (0,75 punts)

**a) Elements de l'el·lipse:** De l'equació x²/9 + y²/4 = 1, identifiquem: - a² = 9 → **a = 3** (semieix major, horitzontal) - b² = 4 → **b = 2** (semieix menor, vertical) Relació: c² = a² - b² = 9 - 4 = 5 → **c = √5** **Focus:** F₁(-√5, 0) i F₂(√5, 0) **Excentricitat:** e = c/a = **√5/3 ≈ 0,745** **b) Equació de les rectes tangents des de P(5, 0):** Una recta que passa per P(5, 0) té la forma: y - 0 = m(x - 5), és a dir, y = m(x - 5) Substituïm a l'el·lipse: x²/9 + m²(x - 5)²/4 = 1 4x² + 9m²(x - 5)² = 36 4x² + 9m²(x² - 10x + 25) = 36 (4 + 9m²)x² - 90m²x + (225m² - 36) = 0 Per ser tangent: Δ = 0 Δ = (90m²)² - 4(4 + 9m²)(225m² - 36) = 0 8100m⁴ - 4(900m² - 144 + 2025m⁴ - 324m²) = 0 8100m⁴ - 4(2025m⁴ + 576m² - 144) = 0 8100m⁴ - 8100m⁴ - 2304m² + 576 = 0 -2304m² + 576 = 0 m² = 576/2304 = 1/4 **m = ±1/2** **Rectes tangents:** y = (1/2)(x - 5) i y = -(1/2)(x - 5) O bé: **x - 2y - 5 = 0** i **x + 2y - 5 = 0** **c) Àrea del triangle PT₁T₂:** Trobem els punts de tangència T₁ i T₂: Per a m = 1/2: y = (x-5)/2 a l'el·lipse: (4 + 9·1/4)x² - 90·(1/4)x + (225·1/4 - 36) = 0 (25/4)x² - (45/2)x + (225/4 - 36) = 0 (25/4)x² - (45/2)x + (81/4) = 0 25x² - 90x + 81 = 0 (5x - 9)² = 0 → x = 9/5 y = (9/5 - 5)/2 = (-16/5)/2 = -8/5 **T₁ = (9/5, -8/5)** Per simetria respecte l'eix X: **T₂ = (9/5, 8/5)** Àrea del triangle amb vèrtexs P(5,0), T₁(9/5, -8/5), T₂(9/5, 8/5): Àrea = (1/2)|x_P(y_T₁ - y_T₂) + x_T₁(y_T₂ - y_P) + x_T₂(y_P - y_T₁)| = (1/2)|5(-8/5 - 8/5) + (9/5)(8/5 - 0) + (9/5)(0 - (-8/5))| = (1/2)|5·(-16/5) + (9/5)·(8/5) + (9/5)·(8/5)| = (1/2)|-16 + 72/25 + 72/25| = (1/2)|-16 + 144/25| = (1/2)|(-400 + 144)/25| = (1/2)·(256/25) = **128/25 = 5,12 u²**

a) Calcula la integral indefinida: ∫ x²·ln(x) dx (0,75 punts) b) Calcula l'àrea de la regió limitada per la paràbola y = x² - 2x i la recta y = x. (0,75 punts) c) Calcula el volum del sòlid de revolució generat en girar la regió de l'apartat b) al voltant de l'eix X. (0,5 punts)

**a) Integral per parts: ∫ x²·ln(x) dx** Utilitzem integració per parts: ∫u dv = uv - ∫v du u = ln(x) → du = (1/x)dx dv = x² dx → v = x³/3 ∫ x²·ln(x) dx = (x³/3)·ln(x) - ∫(x³/3)·(1/x) dx = (x³/3)·ln(x) - (1/3)∫x² dx = (x³/3)·ln(x) - (1/3)·(x³/3) = (x³/3)·ln(x) - x³/9 **∫ x²·ln(x) dx = (x³/3)[ln(x) - 1/3] + C = (x³/9)[3ln(x) - 1] + C** **b) Àrea entre y = x² - 2x i y = x:** Punts d'intersecció: x² - 2x = x → x² - 3x = 0 → x(x - 3) = 0 **x = 0 i x = 3** A l'interval [0, 3], la recta y = x està per sobre de y = x² - 2x: (comprovat per x = 1: recta: y = 1; paràbola: y = 1 - 2 = -1) Àrea = ∫₀³ [x - (x² - 2x)] dx = ∫₀³ (3x - x²) dx = [3x²/2 - x³/3]₀³ = (3·9/2 - 27/3) - 0 = 27/2 - 9 = 27/2 - 18/2 = **9/2 = 4,5 u²** **c) Volum de revolució al voltant de l'eix X:** Utilitzem el mètode de les rodanxes (discs anidats): V = π ∫₀³ [(y_superior)² - (y_inferior)²] dx = π ∫₀³ [x² - (x² - 2x)²] dx = π ∫₀³ [x² - (x⁴ - 4x³ + 4x²)] dx = π ∫₀³ [x² - x⁴ + 4x³ - 4x²] dx = π ∫₀³ [-x⁴ + 4x³ - 3x²] dx = π [-x⁵/5 + x⁴ - x³]₀³ = π [(-243/5 + 81 - 27) - 0] = π [-243/5 + 54] = π [-243/5 + 270/5] = π · 27/5 = **27π/5 ≈ 16,96 u³**

Una empresa fabrica components electrònics en tres línies de producció A, B i C. La línia A produeix el 40% dels components, la B el 35% i la C el 25%. Es sap que el percentatge de components defectuosos de cada línia és: - Línia A: 2% - Línia B: 3% - Línia C: 5% a) Si s'agafa un component a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuós? (0,5 punts) b) Si un component resulta ser defectuós, quina és la probabilitat que hagi estat fabricat per la línia C? (0,75 punts) c) Es comproven 10 components de la línia A. Calcula la probabilitat que exactament 2 siguin defectuosos. Quina distribució has utilitzat? (0,75 punts)

**Dades:** - P(A) = 0,40, P(B) = 0,35, P(C) = 0,25 - P(D|A) = 0,02, P(D|B) = 0,03, P(D|C) = 0,05 **a) Probabilitat que un component sigui defectuós:** Apliquem el Teorema de la Probabilitat Total: P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) + P(C)·P(D|C) = 0,40·0,02 + 0,35·0,03 + 0,25·0,05 = 0,008 + 0,0105 + 0,0125 = **0,031 = 3,1%** **b) Probabilitat que vingui de C si és defectuós:** Apliquem el Teorema de Bayes: P(C|D) = P(C)·P(D|C) / P(D) = (0,25·0,05) / 0,031 = 0,0125 / 0,031 = **0,4032 ≈ 40,32%** Interpretació: Tot i que la línia C només produeix el 25% dels components, és responsable del 40,32% dels defectuosos perquè té la taxa de defectes més alta. **c) Probabilitat que exactament 2 de 10 components de A siguin defectuosos:** Distribució: **Binomial B(n=10, p=0,02)** - n = 10 (nombre de components comprovats) - p = 0,02 (probabilitat de defecte en línia A) - k = 2 (èxits desitjats = defectuosos) P(X = 2) = C(10,2) · p² · (1-p)^(10-2) = C(10,2) · (0,02)² · (0,98)⁸ C(10,2) = 10!/(2!·8!) = (10·9)/(2·1) = 45 P(X = 2) = 45 · 0,0004 · (0,98)⁸ = 45 · 0,0004 · 0,8508 = **0,0153 ≈ 1,53%** **Distribució utilitzada:** Binomial amb paràmetres n = 10 i p = 0,02. Nota: Podria aproximar-se per una Poisson(λ = np = 0,2) donat que n és gran i p petit: P(X = 2) ≈ e^(-0,2) · (0,2)²/2! = 0,8187 · 0,04/2 = 0,0164 ≈ 1,64%

1. Definició d'espai vectorial sobre ℝ. Axiomes. 2. Exemples: ℝⁿ, espais de funcions, espais de matrius. 3. Subespais vectorials. Caracterització. 4. Combinacions lineals. Dependència i independència lineal. 5. Sistemes generadors. Base i dimensió. 6. Teoremes fonamentals: existència de bases, dimensió única. 7. Canvi de base. Matriu de canvi de base. 8. Aplicacions didàctiques: vectors al pla i a l'espai.

1. Taxa de variació. Derivada en un punt. Funció derivada. 2. Interpretació geomètrica: recta tangent. 3. Derivabilitat i continuïtat. 4. Regles de derivació: suma, producte, quocient. 5. Regla de la cadena. Derivada de la funció inversa. 6. Teoremes fonamentals: Rolle, Lagrange, L'Hôpital. 7. Aplicacions: extrems, creixement, concavitat. 8. Problemes d'optimització. 9. Aplicacions a la Física: velocitat, acceleració.

1. Primitiva d'una funció. Integral indefinida. 2. Primitives immediates. Taula d'integrals bàsiques. 3. Integració per parts. Exemples. 4. Integració per canvi de variable. Substitucions. 5. Integració de funcions racionals. Fraccions simples. 6. Integrals trigonomètriques. 7. Integrals irracionals. 8. Aplicacions: equacions diferencials elementals.

1. Espai mostral. Successos. Àlgebra de successos. 2. Definicions de probabilitat: Laplace, freqüentista, axiomàtica. 3. Axiomes de Kolmogorov. Propietats derivades. 4. Probabilitat condicionada. Teorema de la Probabilitat Total. 5. Teorema de Bayes. Aplicacions. 6. Successos independents. Caracterització. 7. Proves repetides independents. 8. Aplicacions didàctiques: problemes reals, jocs d'atzar.