Simulacre d'Examen MA #2 — Oposicions Secundària Catalunya 2026

Considereu el sistema d'equacions lineals: ⎧ x + y + z = 1 ⎨ x + ay + z = a ⎩ x + y + az = a² on a ∈ ℝ és un paràmetre. a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre a. Determineu per a quins valors el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible. (1 punt) b) Resoleu el sistema per a a = 2. (0,5 punts) c) Resoleu el sistema per a a = 1. Doneu la interpretació geomètrica de la solució. (0,5 punts) d) Per al cas a = 0, trobeu la solució i interpreteu geomètricament què representen els tres plans. (0,5 punts)

Considereu la funció f(x) = x·e⁻ˣ per a x ≥ 0. a) Estudieu la funció f: domini, talls amb els eixos, extrems relatius, punts d'inflexió i asímptotes. Representeu gràficament la corba. (1 punt) b) Calculeu l'àrea de la regió limitada per la corba y = f(x), l'eix OX i les rectes x = 0 i x = 2. (0,5 punts) c) Calculeu el volum del sòlid de revolució generat en girar aquesta regió al voltant de l'eix OX. (0,5 punts) d) Determineu el valor de ∫₀^∞ x·e⁻ˣ dx (integral impropi). Interpreteu el resultat. (0,5 punts)

Una el·lipse té el centre a l'origen, els eixos sobre els eixos coordenats, passa pel punt P(3, 2) i l'excentricitat és e = √5/3. a) Determineu l'equació de l'el·lipse. Trobeu les coordenades dels focus i dels vèrtexs. (1 punt) b) Calculeu l'àrea delimitada per l'el·lipse. (0,25 punts) c) Escriviu l'equació de la recta tangent a l'el·lipse en el punt P(3, 2). (0,5 punts) d) Trobeu el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de les seves distàncies als focus de l'el·lipse és igual a 8. Quin tipus de corba és? (0,75 punts)

Una fàbrica produeix peces que tenen una durada mitjana de 1000 hores amb desviació típica de 100 hores. S'assumeix que la durada segueix una distribució normal. a) Calculeu la probabilitat que una peça triada a l'atzar duri entre 900 i 1100 hores. Calculeu també la probabilitat que duri més de 1150 hores. (0,75 punts) b) Es selecciona una mostra aleatòria de 25 peces. Determineu la probabilitat que la mitjana mostral estigui entre 980 i 1020 hores. (0,5 punts) c) Es vol estimar la durada mitjana amb un interval de confiança del 95%. Si la mostra de 25 peces té una mitjana de 1015 hores, construïu l'interval de confiança. (0,5 punts) d) Quina mida de mostra caldria per obtenir un interval de confiança del 99% amb una amplada total de 40 hores (és a dir, error màxim de 20 hores)? (0,75 punts)