📋 RESUM: Variable aleatòria contínua
• **Funció densitat f(x)**: f(x)≥0, ∫f(x)dx=1, P(a≤X≤b)=∫f(x)dx.
• **Propietat clau**: P(X=a)=0, no distingim < i ≤.
• **Funció distribució**: F(x)=P(X≤x)=∫f(t)dt, F'(x)=f(x).
• **Uniforme U(a,b)**: f=1/(b-a), E=(a+b)/2, Var=(b-a)²/12.
• **Exponencial Exp(λ)**: f=λe^(-λx), E=1/λ, Var=1/λ², manca memòria.
• **Normal N(μ,σ²)**: Campana de Gauss, simètrica, punts inflexió μ±σ.
• **Regla 68-95-99.7**: Probabilitats dins 1σ, 2σ, 3σ de la mitjana.
• **Tipificació**: Z=(X-μ)/σ ~ N(0,1), usar taules Φ(z).
• **Aproximació binomial**: B(n,p)≈N(np,npq) si np≥5, nq≥5.
• **TCL**: Mitjana mostral → Normal quan n→∞, sigui quina sigui la distribució original.
Desarrollo del tema
# VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
## 1. Introducció
Una **variable aleatòria contínua** pot prendre qualsevol valor dins d'un interval de nombres reals. A diferència de les discretes, la probabilitat d'un valor concret és zero; les probabilitats es calculen per a intervals. Les distribucions contínues més importants són la uniforme, l'exponencial i, especialment, la **distribució normal**, que és fonamental en estadística per la seva aparició en innombrables fenòmens naturals i pel teorema central del límit.
## 2. Conceptes Fonamentals
### 2.1 Definició
Una variable aleatòria $X$ és **contínua** si el seu conjunt de valors és un interval (o unió d'intervals) de $\mathbb{R}$, i existeix una funció $f(x) \geq 0$ tal que per a qualsevol interval $[a, b]$:
$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx$$
### 2.2 Funció de densitat
La **funció de densitat de probabilitat** (fdp) $f(x)$ satisfà:
1. $f(x) \geq 0$ per a tot $x$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
**Nota important:** $f(x)$ NO és una probabilitat. Pot ser $f(x) > 1$ per a alguns $x$.
### 2.3 Propietat clau
Per a variables contínues:
$$P(X = a) = \int_a^a f(x) \, dx = 0$$
Per tant:
$$P(a < X < b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b)$$
### 2.4 Funció de distribució acumulada
La **funció de distribució** $F(x)$ és:
$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$$
**Propietats:**
1. $F$ és contínua i no decreixent
2. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ i $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
3. $F'(x) = f(x)$ on $f$ és contínua
4. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
## 3. Esperança i Variància
### 3.1 Esperança
$$E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx$$
Per a una funció $g(X)$:
$$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f(x) \, dx$$
- $E[X] = 1/\lambda$ (temps mitjà entre esdeveniments)
- $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$
### 5.5 Propietat de manca de memòria
$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$
L'exponencial és l'única distribució contínua amb aquesta propietat.
### 5.6 Relació amb Poisson
Si el nombre d'esdeveniments en un interval segueix una Poisson($\lambda t$), el temps entre esdeveniments segueix una Exp($\lambda$).
## 6. Distribució Normal (Gaussiana)
### 6.1 Definició
La distribució més important en estadística, descriu fenòmens naturals on intervenen moltes causes petites i independents.
$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$
### 6.2 Funció de densitat
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbb{R}$$
### 6.3 Propietats de la corba normal
- Simètrica respecte a $x = \mu$
- Forma de campana (campana de Gauss)
- Màxim en $x = \mu$ on $f(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$
- Punts d'inflexió en $x = \mu \pm \sigma$
- Asimptòtica a l'eix $x$
Si $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ amb $\lambda > 20$:
$$X \approx N(\lambda, \lambda)$$
## 10. Teorema Central del Límit
### 10.1 Enunciat
Siguin $X_1, X_2, \ldots, X_n$ variables aleatòries independents amb la mateixa distribució, mitjana $\mu$ i variància $\sigma^2$. Llavors, per a $n$ suficientment gran:
- Justifica l'ús de la normal en inferència estadística
- Explica per què molts fenòmens naturals segueixen distribucions normals
- Funciona independentment de la distribució original de les $X_i$
## 11. Altres Distribucions Contínues
### 11.1 Distribució Gamma
$$f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1} e^{-\lambda x}, \quad x > 0$$
L'exponencial és un cas particular ($k = 1$).
### 11.2 Distribució Chi-quadrat
$$\chi^2_n = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2$$
on $Z_i \sim N(0, 1)$ independents. Fonamental en inferència.
### 11.3 Distribució t de Student
Utilitzada per a inferència amb mostres petites quan es desconeix $\sigma$.
### 11.4 Distribució F de Fisher
Utilitzada en anàlisi de variància (ANOVA) i comparació de variàncies.
## 12. Aplicacions Didàctiques
### 12.1 Al Batxillerat
- Normal: notes d'exàmens, alçades, errors de mesura
- Tipificació i ús de taules
- Aproximacions binomial-normal
- Intervals de confiança (introducció)
## 13. Conclusions
Les distribucions contínues modelen fenòmens on la variable pot prendre infinits valors. La distribució normal és fonamental per la seva aparició ubiqua i pel teorema central del límit. L'exponencial modela temps d'espera amb la propietat de manca de memòria. El domini del càlcul de probabilitats normals mitjançant tipificació és essencial per a l'estadística inferencial.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
