📋 RESUM: Geometria mètrica i espai euclidià
• Producte escalar: ⟨·,·⟩:V×V→ℝ simètric, bilineal, definit positiu; canònic: u·v = Σuᵢvᵢ
• Matriu de Gram: G = (⟨eᵢ,eⱼ⟩); en base ortonormal G = I
• Norma: ‖v‖ = √⟨v,v⟩; distància d(P,Q) = ‖PQ‖
• Desigualtat Cauchy-Schwarz: |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖
• Angle: cos θ = ⟨u,v⟩/(‖u‖·‖v‖)
• Ortogonalitat: u⊥v ⟺ ⟨u,v⟩=0; V = W ⊕ W^⊥
• Gram-Schmidt: procés per construir base ortogonal a partir de qualsevol base
• Projecció ortogonal: proy_W(v) = Σ ⟨v,uᵢ⟩/⟨uᵢ,uᵢ⟩ · uᵢ
• Producte vectorial: u×v perpendicular a u i v, ‖u×v‖ = àrea paral·lelogram
• Producte mixt: [u,v,w] = u·(v×w) = det; |[u,v,w]| = volum paral·lelepípede
• Distància punt-pla: d = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)
• Distància punt-recta: d = ‖AP×v‖/‖v‖
• Isometria: preserva distàncies; matriu ortogonal (AᵀA = I)
• Isometries directes (det=1) vs inverses (det=-1)
Desarrollo del tema
# GEOMETRIA MÈTRICA. ESPAI EUCLIDIÀ
## 1. Introducció
La **geometria mètrica** o **geometria euclidiana** afegeix a l'estructura afí els conceptes de distància i angle mitjançant el **producte escalar**. Això permet mesurar longituds, àrees, volums, angles i definir perpendicularitat.
L'espai euclidià és el marc matemàtic que formalitza la geometria clàssica d'Euclides i té aplicacions fonamentals en física, enginyeria i gràfics per computador.
## 2. Producte Escalar
### 2.1 Definició
Un **producte escalar** (o producte interior) en un espai vectorial real $V$ és una aplicació $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ que satisfà:
Igualtat si i només si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són linealment dependents.
### 3.3 Distància
En un espai euclidià, la **distància** entre dos punts $P$ i $Q$ és:
$$d(P, Q) = \|\vec{PQ}\|$$
En coordenades cartesianes:
$$d(P, Q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (q_i - p_i)^2}$$
## 4. Angle i Ortogonalitat
### 4.1 Angle entre Vectors
L'**angle** $\theta$ entre vectors no nuls $\vec{u}$ i $\vec{v}$ es defineix per:
$$\cos\theta = \frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$$
Això està ben definit gràcies a la desigualtat de Cauchy-Schwarz.
### 4.2 Ortogonalitat
Dos vectors són **ortogonals** (perpendiculars) si $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0$, notat $\vec{u} \perp \vec{v}$.
El **subespai ortogonal** a un subespai $W$ és:
$$W^{\perp} = \{\vec{v} \in V : \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle = 0 \text{ per a tot } \vec{w} \in W\}$$
**Teorema:** $\dim(W) + \dim(W^{\perp}) = \dim(V)$ i $V = W \oplus W^{\perp}$ (suma directa ortogonal).
## 5. Espai Euclidià
### 5.1 Definició
Un **espai euclidià** és un espai afí $\mathcal{E} = (\mathcal{A}, V, +)$ on $V$ és un espai vectorial amb producte escalar.
La distància i l'angle es defineixen usant el producte escalar de l'espai director.
### 5.2 Referència Ortonormal
Una **referència ortonormal** és $\mathcal{R} = \{O; \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ on $\{\vec{e}_i\}$ és base ortonormal.
En referència ortonormal, les fórmules prenen la forma més simple:
- $d(P, Q) = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + (y_Q-y_P)^2 + \cdots}$
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots$
## 6. Procés d'Ortogonalització de Gram-Schmidt
Donat un conjunt lliure $\{\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k\}$, es construeix un conjunt ortogonal $\{\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_k\}$ que genera el mateix subespai:
Normalitzant: $\hat{u}_i = \vec{u}_i / \|\vec{u}_i\|$ s'obté base ortonormal.
## 7. Projeccions Ortogonals
### 7.1 Projecció sobre un Subespai
Sigui $W$ un subespai de $V$. Tot vector $\vec{v} \in V$ es descompon de forma única:
$$\vec{v} = \text{proy}_W(\vec{v}) + \vec{v}^{\perp}$$
on $\text{proy}_W(\vec{v}) \in W$ i $\vec{v}^{\perp} \in W^{\perp}$.
Si $\{\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_k\}$ és base ortogonal de $W$:
$$\text{proy}_W(\vec{v}) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle}{\langle \vec{u}_i, \vec{u}_i \rangle}\vec{u}_i$$
### 7.2 Distància d'un Punt a una Varietat
La **distància** del punt $P$ a la varietat afí $\mathcal{L} = Q + W$ és:
$$d(P, \mathcal{L}) = \|\vec{QP} - \text{proy}_W(\vec{QP})\| = \|\text{proy}_{W^{\perp}}(\vec{QP})\|$$
És la longitud del segment perpendicular des de $P$ fins a $\mathcal{L}$.
### 7.3 Fórmules de Distància
**Punt a recta (en $\mathcal{E}^3$):** Recta $r$ passant per $A$ amb direcció $\vec{v}$:
$$d(P, r) = \frac{\|\vec{AP} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}$$
**Punt a pla:** Pla $\pi: ax + by + cz + d = 0$:
$$d(P, \pi) = \frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
**Entre rectes que es creuen:** Rectes $r_1$ (per $A$ amb $\vec{v}_1$) i $r_2$ (per $B$ amb $\vec{v}_2$):
$$d(r_1, r_2) = \frac{|(\vec{AB}) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{\|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2\|}$$
$f$ és isometria si i només si la seva matriu $A$ (en referència ortonormal) satisfà:
$$A^T A = I \quad \text{(matriu ortogonal)}$$
- Si $\det(A) = 1$: isometria **directa** (preserva orientació)
- Si $\det(A) = -1$: isometria **inversa** (canvia orientació)
## 12. Conclusions
L'espai euclidià combina l'estructura afí amb el producte escalar, permetent definir distàncies, angles, perpendicularitat i volums. Les eines fonamentals són el producte escalar, vectorial i mixt. Les projeccions ortogonals i les distàncies tenen fórmules explícites. Les isometries (que preserven distàncies) tenen matrius ortogonals i constitueixen el grup de moviments rígids.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
