Corbes en el pla i en l'espai

📋 RESUM: Corbes en el pla i en l’espai • Representacions: paramètrica γ(t), implícita F(x,y)=0, explícita y=f(x), polars r(θ) • Regularitat: corba regular si γ'(t)≠0; defineix direcció tangent • Tangent: en paramètrica, línia tangent ℓ(s)=γ(t₀)+sγ'(t₀); en implícita, Fₓ(x₀,y₀)(x-x₀)+Fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)=0 • Longitud d’arc: L=∫‖γ'(t)‖dt; si y=f(x): L=∫√(1+f'(x)²)dx • Parametrització per arc s: imposa ‖dγ/ds‖=1 i simplifica curvatura • Curvatura plana: κ(t)=|x'y''−y'x''|/(x'²+y'²)^{3/2}; en arc: κ=‖T'‖ • Corbes espacials: κ(t)=‖γ'×γ''‖/‖γ'‖³; torsió τ=(γ',γ'',γ''')/‖γ'×γ''‖² • Triedre de Frenet: T tangent, N normal, B binormal; fórmules T'=κN, N'=-κT+τB, B'=-τN • Plans associats: osculador (T,N), normal (N,B), rectificant (T,B) • Exemple: hèlix (a cos t, a sin t, bt) té κ i τ constants