Espais topològics. Propietats

📋 RESUM: Espais topològics • **Definició:** $(X, \tau)$ amb $\tau$ = família d'oberts satisfent: ∅, X ∈ τ; unions arbitràries i interseccions finites d'oberts són obertes • **Exemples:** Trivial {∅, X}, discreta 𝒫(X), usual de ℝ, induïda per mètrica, cofinita, Zariski • **Base:** Família B tal que tot obert és unió d'elements de B • **Interior/Clausura/Frontera:** A° = major obert ⊆ A, Ā = menor tancat ⊇ A, ∂A = Ā \ A° • **Continuïtat:** f⁻¹(obert) és obert. Homeomorfisme = bijecció bicontinua • **Hausdorff (T₂):** Punts distints tenen entorns disjunts. Garanteix unicitat de límits • **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. Tychonoff: producte de compactes és compacte • **Connexitat:** No és unió disjunta de dos oberts no buits. Connex per arcs ⟹ connex • **Producte/Quocient:** Topologia producte té base U×V. Quocient: V obert ⟺ f⁻¹(V) obert