Matrius. Aplicacions

📋 RESUM: Matrius i aplicacions • **Definició:** Taula $m \times n$ d'elements d'un cos. $\mathcal{M}_{m \times n}(K)$ és espai vectorial de dimensió $mn$ • **Operacions:** Suma (element a element), producte per escalar, producte de matrius (no commutatiu!): $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ • **Transposada:** $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Propietat clau: $(AB)^T = B^T A^T$ • **Matrius especials:** Simètrica ($A^T = A$), antisimètrica ($A^T = -A$), ortogonal ($Q^T Q = I$), diagonal, triangular • **Inversa:** $A^{-1}$ existeix ⟺ $\det(A) \neq 0$ ⟺ $\text{rang}(A) = n$. Càlcul: Gauss-Jordan o adjunta • **Rang:** Nombre màxim de files/columnes LI. Es calcula escalonant • **Operacions elementals:** Intercanvi, escalat, combinació de files → forma escalonada • **Aplicacions:** Sistemes lineals, transformacions geomètriques, grafs, cadenes de Markov, imatges