T55. Variable aleatòria contínua

Desarrollo del tema

# VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT

## 1. Introducció

Una **variable aleatòria contínua** pot prendre qualsevol valor dins d'un interval de nombres reals. A diferència de les discretes, la probabilitat d'un valor concret és zero; les probabilitats es calculen per a intervals. Les distribucions contínues més importants són la uniforme, l'exponencial i, especialment, la **distribució normal**, que és fonamental en estadística per la seva aparició en innombrables fenòmens naturals i pel teorema central del límit.

## 2. Conceptes Fonamentals

### 2.1 Definició

Una variable aleatòria $X$ és **contínua** si el seu conjunt de valors és un interval (o unió d'intervals) de $\mathbb{R}$, i existeix una funció $f(x) \geq 0$ tal que per a qualsevol interval $[a, b]$:

$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx$$

### 2.2 Funció de densitat

La **funció de densitat de probabilitat** (fdp) $f(x)$ satisfà:

1. $f(x) \geq 0$ per a tot $x$ 2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$

**Nota important:** $f(x)$ NO és una probabilitat. Pot ser $f(x) > 1$ per a alguns $x$.

### 2.3 Propietat clau

Per a variables contínues: $$P(X = a) = \int_a^a f(x) \, dx = 0$$

Per tant: $$P(a < X < b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b)$$

### 2.4 Funció de distribució acumulada

La **funció de distribució** $F(x)$ és: $$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$$

**Propietats:** 1. $F$ és contínua i no decreixent 2. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ i $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$ 3. $F'(x) = f(x)$ on $f$ és contínua 4. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$

## 3. Esperança i Variància

### 3.1 Esperança

$$E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx$$

Per a una funció $g(X)$: $$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f(x) \, dx$$

### 3.2 Variància

$$\text{Var}(X) = \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x) \, dx$$

**Fórmula de König:** $$\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2$$

### 3.3 Moments

El **moment d'ordre $r$ respecte a l'origen:** $$m_r = E[X^r] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^r f(x) \, dx$$

El **moment central d'ordre $r$:** $$\mu_r = E[(X - \mu)^r]$$

## 4. Distribució Uniforme Contínua

### 4.1 Definició

Una variable $X$ segueix una distribució uniforme en l'interval $[a, b]$ si tots els valors són equiprobables:

$$X \sim U(a, b)$$

### 4.2 Funció de densitat

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{en cas contrari} \end{cases}$$

### 4.3 Funció de distribució

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{si } a \leq x \leq b \\ 1 & \text{si } x > b \end{cases}$$

### 4.4 Paràmetres

- $E[X] = \frac{a+b}{2}$ (punt mitjà) - $\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

### 4.5 Exemples

- Temps d'arribada d'un autobús que passa cada 20 minuts: $U(0, 20)$ - Generació de nombres aleatoris per ordinador: $U(0, 1)$

## 5. Distribució Exponencial

### 5.1 Definició

Model per al temps entre esdeveniments en un procés de Poisson. Si els esdeveniments ocorren amb taxa $\lambda$ per unitat de temps:

$$X \sim \text{Exp}(\lambda)$$

### 5.2 Funció de densitat

$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

### 5.3 Funció de distribució

$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

### 5.4 Paràmetres

- $E[X] = 1/\lambda$ (temps mitjà entre esdeveniments) - $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$

### 5.5 Propietat de manca de memòria

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

L'exponencial és l'única distribució contínua amb aquesta propietat.

### 5.6 Relació amb Poisson

Si el nombre d'esdeveniments en un interval segueix una Poisson($\lambda t$), el temps entre esdeveniments segueix una Exp($\lambda$).

## 6. Distribució Normal (Gaussiana)

### 6.1 Definició

La distribució més important en estadística, descriu fenòmens naturals on intervenen moltes causes petites i independents.

$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

### 6.2 Funció de densitat

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbb{R}$$

### 6.3 Propietats de la corba normal

- Simètrica respecte a $x = \mu$ - Forma de campana (campana de Gauss) - Màxim en $x = \mu$ on $f(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ - Punts d'inflexió en $x = \mu \pm \sigma$ - Asimptòtica a l'eix $x$

### 6.4 Paràmetres

- $E[X] = \mu$ - $\text{Var}(X) = \sigma^2$

### 6.5 Regla empírica (68-95-99.7)

- $P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.6827$ (68%) - $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$ (95%) - $P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0.9973$ (99.7%)

## 7. Distribució Normal Estàndard

### 7.1 Definició

La normal amb $\mu = 0$ i $\sigma = 1$:

$$Z \sim N(0, 1)$$

### 7.2 Funció de densitat

$$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$$

### 7.3 Funció de distribució

$$\Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \phi(t) \, dt$$

No té expressió analítica tancada; s'utilitzen taules o calculadores.

### 7.4 Propietats de simetria

- $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ - $\phi(-z) = \phi(z)$

### 7.5 Tipificació

Qualsevol normal es pot transformar en estàndard:

Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, llavors: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$

Per tant: $$P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$

## 8. Càlcul de Probabilitats amb la Normal

### 8.1 Procediment

1. Tipificar: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ 2. Usar la taula de $\Phi(z)$

### 8.2 Exemples de càlcul

Si $X \sim N(100, 15^2)$:

$P(X < 120) = \Phi\left(\frac{120-100}{15}\right) = \Phi(1.33) \approx 0.9082$

$P(X > 85) = 1 - P(X \leq 85) = 1 - \Phi\left(\frac{85-100}{15}\right) = 1 - \Phi(-1) = \Phi(1) \approx 0.8413$

$P(90 < X < 110) = \Phi\left(\frac{110-100}{15}\right) - \Phi\left(\frac{90-100}{15}\right) = \Phi(0.67) - \Phi(-0.67) \approx 0.497$

## 9. Aproximacions amb la Normal

### 9.1 Aproximació de la binomial

Si $X \sim B(n, p)$ amb $np \geq 5$ i $nq \geq 5$: $$X \approx N(np, npq)$$

**Correcció de continuïtat:** $$P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0.5 - np}{\sqrt{npq}}\right)$$

### 9.2 Aproximació de la Poisson

Si $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ amb $\lambda > 20$: $$X \approx N(\lambda, \lambda)$$

## 10. Teorema Central del Límit

### 10.1 Enunciat

Siguin $X_1, X_2, \ldots, X_n$ variables aleatòries independents amb la mateixa distribució, mitjana $\mu$ i variància $\sigma^2$. Llavors, per a $n$ suficientment gran:

$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

Equivalentment: $$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \approx N(0, 1)$$

### 10.2 Importància

- Justifica l'ús de la normal en inferència estadística - Explica per què molts fenòmens naturals segueixen distribucions normals - Funciona independentment de la distribució original de les $X_i$

## 11. Altres Distribucions Contínues

### 11.1 Distribució Gamma

$$f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1} e^{-\lambda x}, \quad x > 0$$

L'exponencial és un cas particular ($k = 1$).

### 11.2 Distribució Chi-quadrat

$$\chi^2_n = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2$$

on $Z_i \sim N(0, 1)$ independents. Fonamental en inferència.

### 11.3 Distribució t de Student

Utilitzada per a inferència amb mostres petites quan es desconeix $\sigma$.

### 11.4 Distribució F de Fisher

Utilitzada en anàlisi de variància (ANOVA) i comparació de variàncies.

## 12. Aplicacions Didàctiques

### 12.1 Al Batxillerat

- Normal: notes d'exàmens, alçades, errors de mesura - Tipificació i ús de taules - Aproximacions binomial-normal - Intervals de confiança (introducció)

## 13. Conclusions

Les distribucions contínues modelen fenòmens on la variable pot prendre infinits valors. La distribució normal és fonamental per la seva aparició ubiqua i pel teorema central del límit. L'exponencial modela temps d'espera amb la propietat de manca de memòria. El domini del càlcul de probabilitats normals mitjançant tipificació és essencial per a l'estadística inferencial.