T47. Distribucions contínues de probabilitat

Desarrollo del tema

# DISTRIBUCIONS CONTÍNUES DE PROBABILITAT

## 1. Introducció

Molts fenòmens aleatoris (temps, longituds, errors de mesura, temperatures) es modelitzen amb variables aleatòries que poden prendre un **continu** de valors. Aquest tema presenta les variables aleatòries contínues, la densitat de probabilitat, la funció de distribució, els moments i les distribucions contínues més importants: uniforme, exponencial, normal, gamma, chi-quadrat i t de Student.

## 2. Variable aleatòria contínua

### 2.1 Definició

Una variable aleatòria $X$ és **contínua** si existeix una funció $f(x)\ge 0$ tal que: $$\mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$$

$f$ s’anomena **funció de densitat** (pdf).

**Propietat:** Per a variables contínues: $$\mathbb{P}(X=x)=0$$

### 2.2 Funció de distribució (CDF)

$$F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$$

I, quan $F$ és derivable: $$f(x)=F'(x)$$

### 2.3 Esperança i variància

$$\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$$ $$\mathbb{E}[X^2]=\int x^2 f(x)\,dx$$ $$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2$$

**Canvi de variable:** Si $Y=g(X)$ i $g$ és monotona, es pot obtenir la densitat de $Y$ amb la fórmula de transformació.

## 3. Distribució uniforme contínua

### 3.1 Definició

$X\sim \mathrm{Unif}(a,b)$ si: $$f(x)=\frac{1}{b-a},\quad a\le x\le b$$

**CDF:** $$F(x)=\begin{cases}0,&x<a\\\frac{x-a}{b-a},&a\le x\le b\\1,&x>b\end{cases}$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$$

## 4. Distribució exponencial

### 4.1 Definició

$X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ amb $\lambda>0$: $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0$$

**CDF:** $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ per $x\ge 0$.

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$$

### 4.2 Falta de memòria

$$\mathbb{P}(X>t+s\mid X>t)=\mathbb{P}(X>s)$$

És l’única distribució contínua amb aquesta propietat.

### 4.3 Relació amb Poisson

En un procés de Poisson de taxa $\lambda$, els temps entre esdeveniments són exponencials amb paràmetre $\lambda$.

## 5. Distribució normal (gaussiana)

### 5.1 Definició

$X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ si: $$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\quad x\in\mathbb{R}$$

**Esperança i variància:** $\mathbb{E}[X]=\mu$, $\mathrm{Var}(X)=\sigma^2$.

### 5.2 Estandardització

Si $X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, llavors: $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)$$

Així: $$\mathbb{P}(X\le x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$

on $\Phi$ és la CDF normal estàndard.

### 5.3 Teorema central del límit (TCL)

Si $X_1,\ldots,X_n$ són i.i.d. amb mitjana $\mu$ i variància $\sigma^2<\infty$, llavors: $$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$$

El TCL justifica l’ús de la normal en molts contextos.

## 6. Distribució gamma

### 6.1 Definició

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$ (paràmetres forma i taxa) si: $$f(x)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},\quad x\ge 0$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha}{\lambda},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}$$

**Casos especials:** - Si $\alpha=1$: exponencial - Si $\alpha=k$ enter: temps fins al k-è esdeveniment d’un procés de Poisson

## 7. Chi-quadrat i t de Student

### 7.1 Chi-quadrat

Si $Z_i\sim\mathcal{N}(0,1)$ independents, llavors: $$\chi^2_\nu = \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2$$

Té distribució chi-quadrat amb $\nu$ graus de llibertat.

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[\chi^2_\nu]=\nu,\qquad \mathrm{Var}(\chi^2_\nu)=2\nu$$

### 7.2 t de Student

Si $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ i $U\sim\chi^2_\nu$ independents: $$T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_\nu$$

És simètrica, amb cues més pesades que la normal; convergeix a $\mathcal{N}(0,1)$ quan $\nu\to\infty$.

## 8. Transformacions de variables

### 8.1 Canvi de variable (1D)

Si $Y=g(X)$ amb $g$ estrictament creixent, llavors: $$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$$

**Exemple:** Si $X\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ i $Y=-\ln X$, aleshores $Y\sim\mathrm{Exp}(1)$.

### 8.2 Suma de normals

Si $X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ i $Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ independents: $$X+Y\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$$

## 9. Exemples resolts

### Exemple 1 (Uniforme)

$X\sim\mathrm{Unif}(2,5)$. Probabilitat que $X\in[3,4]$: $$\mathbb{P}(3\le X\le 4)=\frac{4-3}{5-2}=\frac{1}{3}$$

### Exemple 2 (Exponencial)

Temps d’espera amb $\lambda=0.5$ (mitjana 2). Probabilitat d’esperar més de 3: $$\mathbb{P}(X>3)=e^{-0.5\cdot 3}=e^{-1.5}$$

### Exemple 3 (Normal)

$X\sim\mathcal{N}(100,15^2)$. Probabilitat $X\le 130$: $$\mathbb{P}(X\le 130)=\Phi\left(\frac{130-100}{15}\right)=\Phi(2)\approx 0.9772$$

## 10. Didàctica

- Interpretar densitat com “probabilitat per unitat” i insistir que P(X=x)=0 - Treballar amb àrees sota la corba - Usar simulacions per entendre TCL - Relacionar exponencial amb processos de Poisson (arribades)

## 11. Conclusions

Les distribucions contínues modelitzen magnituds reals amb infinitat de valors possibles. La densitat, la CDF i els moments són les eines bàsiques. Les distribucions uniforme, exponencial i normal són centrals i connecten amb models més generals com la gamma, la chi-quadrat i la t de Student, imprescindibles en inferència estadística.