📋 RESUM: Distribucions contínues
**Variable contínua:** existeix una densitat f(x)≥0 tal que P(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx i ∫ f = 1. Per variables contínues, P(X=x)=0.
**CDF:** F(x)=P(X≤x)=∫_{−∞}^x f(t)dt i f(x)=F'(x) quan és derivable.
**Moments:** E[X]=∫ x f(x)dx; Var(X)=E[X²]−(E[X])².
**Uniforme(a,b):** f=1/(b−a) en [a,b]. E=(a+b)/2, Var=(b−a)²/12.
**Exponencial(λ):** f(x)=λe^{−λx}, x≥0. E=1/λ, Var=1/λ². Propietat de falta de memòria. Temps entre esdeveniments en un procés de Poisson.
**Normal(μ,σ²):** densitat gaussiana. E=μ, Var=σ². Estandardització: Z=(X−μ)/σ ~ N(0,1). TCL: la suma de variables i.i.d. (amb Var finita) tendeix a normal.
**Gamma(α,λ):** generalitza l’exponencial. E=α/λ, Var=α/λ².
**Chi-quadrat i t:** χ²_ν=∑Z_i². t_ν=Z/√(U/ν) amb cues més pesades; convergeix a N(0,1).
Desarrollo del tema
# DISTRIBUCIONS CONTÍNUES DE PROBABILITAT
## 1. Introducció
Molts fenòmens aleatoris (temps, longituds, errors de mesura, temperatures) es modelitzen amb variables aleatòries que poden prendre un **continu** de valors. Aquest tema presenta les variables aleatòries contínues, la densitat de probabilitat, la funció de distribució, els moments i les distribucions contínues més importants: uniforme, exponencial, normal, gamma, chi-quadrat i t de Student.
## 2. Variable aleatòria contínua
### 2.1 Definició
Una variable aleatòria $X$ és **contínua** si existeix una funció $f(x)\ge 0$ tal que:
$$\mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$$
$f$ s’anomena **funció de densitat** (pdf).
**Propietat:** Per a variables contínues:
$$\mathbb{P}(X=x)=0$$
Si $X_1,\ldots,X_n$ són i.i.d. amb mitjana $\mu$ i variància $\sigma^2<\infty$, llavors:
$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$$
El TCL justifica l’ús de la normal en molts contextos.
## 6. Distribució gamma
### 6.1 Definició
$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$ (paràmetres forma i taxa) si:
$$f(x)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},\quad x\ge 0$$
**Esperança i variància:**
$$\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha}{\lambda},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}$$
**Casos especials:**
- Si $\alpha=1$: exponencial
- Si $\alpha=k$ enter: temps fins al k-è esdeveniment d’un procés de Poisson
## 7. Chi-quadrat i t de Student
### 7.1 Chi-quadrat
Si $Z_i\sim\mathcal{N}(0,1)$ independents, llavors:
$$\chi^2_\nu = \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2$$
Té distribució chi-quadrat amb $\nu$ graus de llibertat.
**Esperança i variància:**
$$\mathbb{E}[\chi^2_\nu]=\nu,\qquad \mathrm{Var}(\chi^2_\nu)=2\nu$$
### 7.2 t de Student
Si $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ i $U\sim\chi^2_\nu$ independents:
$$T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_\nu$$
És simètrica, amb cues més pesades que la normal; convergeix a $\mathcal{N}(0,1)$ quan $\nu\to\infty$.
## 8. Transformacions de variables
### 8.1 Canvi de variable (1D)
Si $Y=g(X)$ amb $g$ estrictament creixent, llavors:
$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$$
**Exemple:** Si $X\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ i $Y=-\ln X$, aleshores $Y\sim\mathrm{Exp}(1)$.
### 8.2 Suma de normals
Si $X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ i $Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ independents:
$$X+Y\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$$
## 9. Exemples resolts
### Exemple 1 (Uniforme)
$X\sim\mathrm{Unif}(2,5)$. Probabilitat que $X\in[3,4]$:
$$\mathbb{P}(3\le X\le 4)=\frac{4-3}{5-2}=\frac{1}{3}$$
### Exemple 2 (Exponencial)
Temps d’espera amb $\lambda=0.5$ (mitjana 2). Probabilitat d’esperar més de 3:
$$\mathbb{P}(X>3)=e^{-0.5\cdot 3}=e^{-1.5}$$
- Interpretar densitat com “probabilitat per unitat” i insistir que P(X=x)=0
- Treballar amb àrees sota la corba
- Usar simulacions per entendre TCL
- Relacionar exponencial amb processos de Poisson (arribades)
## 11. Conclusions
Les distribucions contínues modelitzen magnituds reals amb infinitat de valors possibles. La densitat, la CDF i els moments són les eines bàsiques. Les distribucions uniforme, exponencial i normal són centrals i connecten amb models més generals com la gamma, la chi-quadrat i la t de Student, imprescindibles en inferència estadística.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
