T30. Espais de Hilbert. Aplicacions

Desarrollo del tema

# ESPAIS DE HILBERT. APLICACIONS

## 1. Introducció

Un **espai de Hilbert** és un espai vectorial amb producte escalar complet respecte la norma induïda. Generalitza l’espai euclidià a dimensions infinites i proporciona el marc natural de l’anàlisi funcional, les sèries de Fourier, la teoria espectral i la mecànica quàntica.

El punt clau és la combinació de: - estructura algebraica (espai vectorial) - estructura geomètrica (producte escalar, ortogonalitat) - propietat topològica (completesa)

## 2. Producte escalar i norma

Sigui $H$ un espai vectorial real o complex. Un **producte escalar** és una aplicació $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) que satisfà:

1. Linealitat en el primer argument (i antilinealitat en el segon en el cas complex, segons convenció) 2. Simetria hermítica: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$ 3. Definit positiu: $\langle x,x\rangle\ge0$ i $=0$ només si $x=0$

Norma induïda:

$$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.$$

Distància: $d(x,y)=\|x-y\|$.

**Desigualtat de Cauchy–Schwarz:**

$$|\langle x,y\rangle|\le \|x\|\,\|y\|.$$

**Desigualtat triangular:** $\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$.

## 3. Espai de Hilbert

Un espai normat és **complet** si tota successió de Cauchy convergeix.

**Definició:** Un espai de Hilbert és un espai amb producte escalar que és complet per la norma associada.

**Exemples:** - $\mathbb{R}^n$ amb producte escalar usual. - $\ell^2=\{(x_n):\sum |x_n|^2<\infty\}$ amb $\langle x,y\rangle=\sum x_n\overline{y_n}$. - $L^2[a,b]$ amb $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}\,dx$.

## 4. Ortogonalitat i projeccions

### 4.1 Subespais i complement ortogonal

Per a un subespai $M\subset H$ definim:

$$M^\perp=\{x\in H:\langle x,m\rangle=0\ \forall m\in M\}.$$

Propietats: - $M^\perp$ és subespai tancat. - Si $M$ és tancat, $H=M\oplus M^\perp$.

### 4.2 Teorema de projecció

Si $M$ és un subespai **tancat** de $H$, per a tot $x\in H$ existeix un únic $m\in M$ tal que:

$$\|x-m\|=\min_{y\in M}\|x-y\|.$$

Aquest element $m$ és la **projecció ortogonal** $P_Mx$ i compleix:

$$x-P_Mx\in M^\perp.$$

Interpretació: millor aproximació en norma mitjançant elements de $M$.

## 5. Bases ortonormals i expansions

Una família $(e_n)$ és **ortonormal** si $\langle e_n,e_m\rangle=\delta_{nm}$.

És una **base ortonormal (BON)** si el subespai generat és dens, equivalentment:

$$x=\sum_{n=1}^{\infty}\langle x,e_n\rangle e_n\quad \text{(convergència en norma)}.$$

**Identitat de Parseval:** si $(e_n)$ és BON:

$$\|x\|^2=\sum_{n=1}^{\infty}|\langle x,e_n\rangle|^2.$$

**Bessel:** per a qualsevol família ortonormal:

$$\sum |\langle x,e_n\rangle|^2\le \|x\|^2.$$

## 6. Procés de Gram–Schmidt

Donada una família linealment independent $(v_1,\dots,v_n)$ en un espai amb producte escalar, es construeix una família ortonormal $(e_1,\dots,e_n)$:

$$u_1=v_1,\quad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},$$

$$u_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,e_j\rangle e_j,\quad e_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}.$$

Això és crucial en aproximació i en càlcul numèric.

## 7. Operadors lineals en Hilbert

Un operador lineal $T:H\to H$ és **continu** (acotat) si existeix $C$ tal que $\|Tx\|\le C\|x\|$.

**Adjunt:** per a $T$ acotat, existeix únic $T^*$ tal que

$$\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle\ \forall x,y.$$

- **Autoadjunt:** $T=T^*$. - **Unitari:** $T^*T=TT^*=I$. - **Normal:** $T^*T=TT^*$.

En dimensió finita, aquests conceptes generalitzen matrius simètriques, ortogonals/unitàries, etc.

## 8. Teorema de representació de Riesz

**Riesz (Hilbert):** Tot funcional lineal continu $\varphi\in H^*$ es pot escriure de forma única com:

$$\varphi(x)=\langle x, y\rangle$$

per a un únic $y\in H$. A més, $\|\varphi\|=\|y\|$.

Interpretació: el dual d’un Hilbert s’identifica amb ell mateix.

## 9. Aplicacions

### 9.1 Fourier i $L^2$

En $L^2[-\pi,\pi]$, la família $\{1/\sqrt{2\pi}, \cos(nx)/\sqrt{\pi}, \sin(nx)/\sqrt{\pi}\}$ és ortonormal i dona expansions de Fourier com projeccions sobre subespais trigonomètrics.

La convergència en $L^2$ s’interpreta com:

$$S_N f=P_{M_N}f,$$

on $M_N$ és el subespai generat pels primers harmònics.

### 9.2 Aproximació de mínims quadrats

Donat un conjunt de vectors $v_1,\dots,v_k$ (models), aproximar $x$ per una combinació lineal minimitzant l’error és un problema de projecció en un subespai. Això explica el mètode de **mínims quadrats** i les equacions normals.

### 9.3 Problemes variacionals

Molts problemes es formulen com minimitzar una energia $J(u)$ en un espai de Hilbert. L’òptim satisfà una condició d’ortogonalitat (derivada de Gâteaux) i sovint condueix a una EDP en forma feble.

### 9.4 Mecànica quàntica (esbós)

L’estat d’un sistema es descriu com un vector d’un Hilbert (p. ex. $L^2(\mathbb{R}^3)$) i els observables com operadors autoadjunts. L’ortogonalitat i la descomposició espectral expliquen mesura i superposició.

## 10. Conclusions

Els espais de Hilbert generalitzen la geometria euclidiana a contextos infinidimensionals. La completitud garanteix l’existència de límits i de millors aproximacions (teorema de projecció). Les bases ortonormals permeten expansions i identitats d’energia (Parseval). El teorema de Riesz connecta vectors i funcionals. Aquest marc unifica Fourier, mínims quadrats i la formulació moderna de molts problemes d’anàlisi i física.