📋 **RESUM - Sèries Numèriques**
🔢 **Definició:** $\sum a_n$ convergeix si $\lim_{k \to \infty} S_k = S \in \mathbb{R}$
⚠️ **Condició necessària:** Si conv. $\Rightarrow a_n \to 0$ (no suficient!)
📊 **Sèries clau:**
- Geomètrica: conv. si $|r| < 1$, suma $= \frac{a}{1-r}$
- p-harmònica: conv. si $p > 1$
🧪 **Criteris termes positius:**
- Comparació, Quocient ($L < 1$), Arrel ($L < 1$), Integral
➕➖ **Alternades:** Leibniz (decreixent + límit zero)
⭐ **Absoluta vs Condicional:** Abs. conv. $\Rightarrow$ conv.
Desarrollo del tema
# Sèries Numèriques. Criteris de Convergència
## Introducció
Les sèries numèriques representen la generalització de la suma a una infinitat de termes. L'objectiu principal és determinar si la suma infinita "convergeix" a un valor finit o no. Les sèries apareixen en càlcul de funcions ($e^x$, $\sin(x)$), equacions diferencials i processament de senyals (Fourier).
## 1. Definició de Sèrie Numèrica
Donada una successió $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$, la **sèrie numèrica** és la suma formal:
- **Convergent:** Si $S \in \mathbb{R}$ (finit). Escrivim $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$
- **Divergent:** Si $S = \pm\infty$
- **Oscil·lant:** Si el límit no existeix
Si $f(x)$ és contínua, positiva i decreixent en $[1, \infty)$ amb $a_n = f(n)$:
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ i } \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ tenen el mateix caràcter}$$
**Exemple:** Demostrar convergència de $\sum \frac{1}{n^p}$ per $p > 1$:
$$\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx = \frac{1}{1-p}\left[x^{1-p}\right]_1^{\infty}$$
Convergeix si $1-p < 0$, és a dir, $p > 1$.
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
