📋 RESUM: Transformades de Laplace i aplicacions
• Definició: ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^{-st}dt, amb s = σ + iω complex
• Transformades bàsiques: ℒ{1}=1/s, ℒ{tⁿ}=n!/s^{n+1}, ℒ{e^{at}}=1/(s-a), ℒ{sin(ωt)}=ω/(s²+ω²)
• Linealitat: ℒ{af+bg} = aF(s)+bG(s)
• Translació en s: ℒ{e^{at}f(t)} = F(s-a)
• Translació en t: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e^{-as}F(s) (amb u graó de Heaviside)
• Derivades: ℒ{f'} = sF(s)-f(0), ℒ{f''} = s²F(s)-sf(0)-f'(0) — clau per EDOs
• Convolució: ℒ{f*g} = F(s)·G(s), amb (f*g)(t) = ∫₀^t f(τ)g(t-τ)dτ
• Delta de Dirac: ℒ{δ(t)} = 1, ℒ{δ(t-a)} = e^{-as}
• Inversa per fraccions parcials: descomposar P(s)/Q(s) segons arrels (simples, repetides, complexes)
• Aplicació a EDOs: transformar → equació algebraica → resoldre → invertir
• Funció de transferència: H(s) = Y(s)/X(s) — estabilitat si pols amb Re<0
• Aplicacions: circuits RLC (impedàncies), sistemes mecànics, teoria de control
Desarrollo del tema
# TRANSFORMADES DE LAPLACE I APLICACIONS
## 1. Introducció
La **transformada de Laplace** és una eina matemàtica fonamental que converteix funcions del domini temporal en funcions del domini de la freqüència complexa. Aquesta transformació converteix equacions diferencials en equacions algebraiques, simplificant enormement la seva resolució.
Desenvolupada per **Pierre-Simon Laplace** (1749-1827), aquesta tècnica és indispensable en enginyeria elèctrica, teoria de control, processament de senyals i física matemàtica.
## 2. Definició de la Transformada de Laplace
### 2.1 Transformada Directa
Sigui $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ una funció. La seva **transformada de Laplace** és:
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$$
on $s = \sigma + i\omega$ és una variable complexa.
**Condicions d'existència:** La integral convergeix si:
1. $f$ és contínua a trossos en $[0, \infty)$
2. $f$ és d'ordre exponencial: $|f(t)| \leq Me^{at}$ per a certes constants $M, a$
L'**abscissa de convergència** $\sigma_0$ és el valor mínim de $\sigma$ per al qual la integral convergeix.
### 2.2 Transformada Inversa
La **transformada inversa** recupera $f(t)$ a partir de $F(s)$:
$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}\,ds$$
on $\gamma > \sigma_0$. Aquesta és la **integral de Bromwich**.
La **convolució** de $f$ i $g$ és:
$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$
**Teorema de convolució:**
$$\mathcal{L}\{f * g\} = F(s) \cdot G(s)$$
### 4.8 Valor Inicial i Final
**Teorema del valor inicial:**
$$\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$$
**Teorema del valor final:**
$$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$$
(si el límit existeix i tots els pols de $sF(s)$ tenen part real negativa)
## 5. Funció Delta de Dirac
La **delta de Dirac** $\delta(t)$ és una "funció" generalitzada (distribució) que satisfà:
$$\delta(t) = 0 \text{ per } t \neq 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\,dt = 1$$
**Propietat de mostreig:**
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-a)\,dt = f(a)$$
**Transformada de Laplace:**
$$\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$$
$$\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$$
## 6. Transformada Inversa per Fraccions Parcials
### 6.1 Mètode General
Per trobar $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ on $F(s) = P(s)/Q(s)$ és racional:
1. Descomposar $F(s)$ en fraccions parcials
2. Aplicar la taula de transformades inverses
### 6.2 Casos segons les arrels de Q(s)
**Arrels reals simples:** Si $Q(s) = (s-a_1)(s-a_2)\cdots$:
$$\frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A_1}{s-a_1} + \frac{A_2}{s-a_2} + \cdots$$
on $A_k = \lim_{s\to a_k}(s-a_k)F(s)$
**Arrels reals repetides:** Si $(s-a)^n$ és factor:
$$\frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(s-a)^n}$$
En circuits RLC, les equacions diferencials es transformen en impedàncies:
- Resistència: $Z_R = R$
- Inductància: $Z_L = sL$
- Capacitància: $Z_C = \dfrac{1}{sC}$
### 9.3 Sistemes Mecànics
Masses, molles i amortidors es modelen amb EDOs que es resolen eficientment amb Laplace.
## 10. Relació amb Altres Transformades
### 10.1 Transformada de Fourier
La transformada de Fourier és un cas particular amb $s = i\omega$:
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$
Laplace és més general (permet convergència amb part real positiva) però Fourier és bilateral.
### 10.2 Transformada Z
Per a senyals discrets, la transformada Z és l'anàleg discret de Laplace:
$$Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}$$
## 11. Conclusions
La transformada de Laplace és una eina algebraica potent que simplifica la resolució d'equacions diferencials lineals, transforma convolucions en productes i permet analitzar sistemes dinàmics mitjançant funcions de transferència. És fonamental en enginyeria i física per modelar i controlar sistemes.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
