T9. Representació de nombres i operacions en el sistema binari i altres sistemes — Temario oficial | OPOSGRATIS | OPOSGRATIS
Temario · Matemàtiques
📋 **RESUM - Sistemes de Numeració**
🔢 **Sistema posicional:** $N = \sum d_i \cdot b^i$
📊 **Bases:**
- Binari (2): bits 0,1
- Octal (8): 0-7, cada xifra = 3 bits
- Hexadecimal (16): 0-F, cada xifra = 4 bits
🔄 **Conversions:**
- Decimal → base b: divisions successives
- Base b → decimal: suma posicional
- Binari ↔ Hex: grups de 4 bits
➖ **Complement a 2:** $-N = \overline{N} + 1$ (negatiu en binari)
💻 **Aplicacions:** adreces memòria, colors RGB, permisos Unix
Desarrollo del tema # Representació de Nombres i Operacions en el Sistema Binari i Altres Sistemes
## Introducció
Els sistemes de numeració són mètodes per representar nombres mitjançant símbols. El sistema decimal (base 10) és el més familiar, però en informàtica s'utilitzen bases com la binària (2), octal (8) i hexadecimal (16). Comprendre aquests sistemes és essencial per a la programació, l'arquitectura de computadors i la transmissió de dades.
## 1. Sistemes de Numeració Posicionals
### 1.1. Concepte de Base
En un sistema posicional de base $b$, cada xifra $d_i$ té un valor que depèn de la seva posició:
$$N = \sum_{i=-m}^{n} d_i \cdot b^i = d_n b^n + d_{n-1} b^{n-1} + \cdots + d_1 b + d_0 + d_{-1} b^{-1} + \cdots$$
on:
- $b$ és la base (nombre de símbols disponibles)
- $d_i \in \{0, 1, \ldots, b-1\}$ són les xifres
- Les posicions negatives representen la part fraccionària
### 1.2. Bases Comunes
| Base | Nom | Xifres | Ús principal |
|------|-----|--------|--------------|
| 2 | Binari | 0, 1 | Circuits digitals |
| 8 | Octal | 0-7 | Permisos Unix |
| 10 | Decimal | 0-9 | Ús quotidià |
| 16 | Hexadecimal | 0-9, A-F | Adreces memòria |
Per distingir bases, s'utilitzen:
- Subíndex: $(1010)_2$, $(42)_{10}$, $(2A)_{16}$
- Prefixos: `0b1010` (binari), `0o52` (octal), `0x2A` (hex)
## 2. Sistema Binari (Base 2)
Només utilitza dos símbols: 0 i 1 (bits).
**Exemple:** $(1011)_2$ en decimal:
$$1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$$
### 2.2. Potències de 2 (Taula de Referència)
| $2^n$ | Valor | | $2^n$ | Valor |
|-------|-------|--|-------|-------|
| $2^0$ | 1 | | $2^6$ | 64 |
| $2^1$ | 2 | | $2^7$ | 128 |
| $2^2$ | 4 | | $2^8$ | 256 |
| $2^3$ | 8 | | $2^9$ | 512 |
| $2^4$ | 16 | | $2^{10}$ | 1024 (1K) |
| $2^5$ | 32 | | $2^{16}$ | 65536 |
## 3. Conversions entre Bases
### 3.1. De Base $b$ a Decimal
Aplicar directament la definició posicional.
**Exemple:** $(A3)_{16}$ a decimal:
$$A \cdot 16^1 + 3 \cdot 16^0 = 10 \cdot 16 + 3 = 163_{10}$$
### 3.2. De Decimal a Base $b$ (Part Entera)
**Mètode de divisions successives:** Dividir repetidament per $b$ i recollir els residus en ordre invers.
**Exemple:** $42_{10}$ a binari:
$$42 \div 2 = 21 \text{ residu } 0$$
$$21 \div 2 = 10 \text{ residu } 1$$
$$10 \div 2 = 5 \text{ residu } 0$$
$$5 \div 2 = 2 \text{ residu } 1$$
$$2 \div 2 = 1 \text{ residu } 0$$
$$1 \div 2 = 0 \text{ residu } 1$$
Llegint de baix a dalt: $42_{10} = (101010)_2$
### 3.3. De Decimal a Base $b$ (Part Fraccionària)
**Mètode de multiplicacions successives:** Multiplicar per $b$ i recollir les parts enteres.
**Exemple:** $0.625_{10}$ a binari:
$$0.625 \times 2 = 1.25 \Rightarrow 1$$
$$0.25 \times 2 = 0.5 \Rightarrow 0$$
$$0.5 \times 2 = 1.0 \Rightarrow 1$$
Resultat: $0.625_{10} = (0.101)_2$
### 3.4. Conversions Binari ↔ Octal
Com $8 = 2^3$, cada xifra octal correspon a **3 bits**.
**Binari → Octal:** Agrupar de 3 en 3 (des del punt decimal).
**Exemple:** $(101110)_2$
$$101 \, | \, 110 = 5 \, | \, 6 = (56)_8$$
**Octal → Binari:** Expandir cada xifra a 3 bits.
**Exemple:** $(37)_8$
$$3 = 011, \quad 7 = 111 \Rightarrow (011111)_2 = (11111)_2$$
### 3.5. Conversions Binari ↔ Hexadecimal
Com $16 = 2^4$, cada xifra hex correspon a **4 bits** (nibble).
**Binari → Hex:** Agrupar de 4 en 4.
**Exemple:** $(11010110)_2$
$$1101 \, | \, 0110 = D \, | \, 6 = (D6)_{16}$$
**Hex → Binari:** Expandir cada xifra a 4 bits.
**Exemple:** $(2F)_{16}$
$$2 = 0010, \quad F = 1111 \Rightarrow (00101111)_2$$
### 3.6. Conversions Octal ↔ Hexadecimal
Es fa passant per binari com a intermediari.
## 4. Operacions en Binari
Taula de suma:
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 10 |
On $1 + 1 = 10_2$ (0 i portem 1).
**Exemple:**
```
1011 (11)
+ 0110 (6)
------
10001 (17)
```
### 4.2. Resta Binària (Directa)
Taula de resta:
| - | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | portem |
| 1 | 1 | 0 |
**Exemple:**
```
1101 (13)
- 0101 (5)
------
1000 (8)
```
### 4.3. Representació de Nombres Negatius
El primer bit indica el signe (0 = positiu, 1 = negatiu).
- Problema: Dos zeros ($+0$ i $-0$).
El negatiu s'obté invertint tots els bits.
$$-N = \overline{N}$$
- Problema: Encara dos zeros.
#### Complement a 2 (Més Usat)
El negatiu s'obté invertint bits i sumant 1:
$$-N = \overline{N} + 1$$
**Avantatges:**
- Un únic zero
- La suma funciona directament (ignorant l'overflow)
**Rang amb $n$ bits:** $[-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$
- 8 bits: $[-128, 127]$
- 16 bits: $[-32768, 32767]$
**Exemple (8 bits):** Representar $-5$
- $5 = 00000101$
- Complement a 1: $11111010$
- Complement a 2: $11111010 + 1 = 11111011$
**Verificació:** $11111011 + 00000101 = 100000000$ (ignorant el carry = 0)
### 4.4. Resta per Complement a 2
Per restar $A - B$, es calcula $A + (-B)$:
1. Calcular complement a 2 de $B$
2. Sumar a $A$
3. Ignorar el carry final (si existeix)
**Exemple:** $7 - 3$ en 4 bits
- $7 = 0111$, $3 = 0011$
- Complement a 2 de 3: $1101$
- $0111 + 1101 = 10100$
- Ignorant carry: $0100 = 4$ ✓
### 4.5. Multiplicació Binària
Com la decimal, però més simple (només multipliquem per 0 o 1):
**Exemple:** $101 \times 11$ ($5 \times 3$)
```
101
× 11
-----
101 (101 × 1)
101 (101 × 1, desplaçat)
-----
1111 (15)
```
Similar a la divisió llarga decimal.
**Exemple:** $1110 \div 10$ ($14 \div 2$)
```
111
-----
10 |1110
10
---
11
10
---
10
10
--
0
```
Resultat: $111_2 = 7$ amb residu 0.
## 5. Representació de Nombres Decimals
Nombre fix de bits per la part entera i fraccionària.
- Simple però rang limitat.
### 5.2. Coma Flotant (IEEE 754)
Format: $(-1)^s \times m \times 2^{e-\text{bias}}$
**Simple precisió (32 bits):**
| Signe | Exponent | Mantissa |
|-------|----------|----------|
| 1 bit | 8 bits | 23 bits |
| s | e | m |
Bias = 127 per simple precisió.
**Exemple:** Representar $-6.5$
- Signe: 1 (negatiu)
- $6.5 = 110.1_2 = 1.101 \times 2^2$
- Exponent: $2 + 127 = 129 = 10000001_2$
- Mantissa: $10100000000000000000000$ (s'omet l'1 inicial)
Resultat: `1 10000001 10100000000000000000000`
## 6. Aplicacions Informàtiques
### 6.1. Adreces de Memòria
Les adreces s'expressen en hexadecimal per compacitat.
- Adreça de 32 bits: 8 dígits hex
- `0x7FFF0000` és més llegible que 32 bits binaris
Cada component (R, G, B) usa 8 bits (0-255 o 00-FF):
- Blanc: `#FFFFFF`
- Negre: `#000000`
- Vermell: `#FF0000`
Sistema octal: rwxrwxrwx → 3 grups de 3 bits
- `chmod 755`: propietari tot (7), grup rx (5), altres rx (5)
- $755_8 = 111\,101\,101_2$
### 6.4. Codificació de Caràcters
- **ASCII:** 7 bits, 128 caràcters
- **UTF-8:** 1-4 bytes, compatible Unicode
- **UTF-16:** 2-4 bytes per caràcter
## 7. Aritmètica Modular i Overflow
Amb $n$ bits, les operacions són mòdul $2^n$:
**Exemple (4 bits sense signe):** $15 + 1$
$$1111 + 0001 = 10000 \equiv 0000 \pmod{2^4}$$
Això és **overflow**: el resultat no cap en $n$ bits.
**Detecció d'overflow (amb signe):** Ocorre quan:
- Dos positius donen negatiu
- Dos negatius donen positiu
Estudia este tema con OPOSGRATIS Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
