T1. Nombres naturals. Sistemes de numeració

Desarrollo del tema

# NOMBRES NATURALS. SISTEMES DE NUMERACIÓ

## 1. Introducció

El concepte de nombre és una de les abstraccions més fonamentals del pensament humà. Els **nombres naturals**, designats pel símbol $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$, constitueixen el pilar sobre el qual es construeix tota l'aritmètica. Són l'eina inicial per comptar, ordenar i quantificar el món que ens envolta.

En aquest tema explorarem la naturalesa dels nombres naturals des d'una perspectiva axiomàtica rigorosa, analitzarem els diferents sistemes de numeració històrics i actuals, estudiarem les operacions fonamentals i introduirem el principi d'inducció matemàtica.

## 2. Definició Axiomàtica: Els Axiomes de Peano

Per donar una base lògica sòlida al conjunt dels nombres naturals, el matemàtic italià **Giuseppe Peano** (1858-1932) va proposar el 1889 un sistema axiomàtic que defineix $\mathbb{N}$ a partir de conceptes primitius: "nombre", "zero" i la funció "successor".

Considerem el conjunt $\mathbb{N}$, un element $0 \in \mathbb{N}$ i una funció successor $S: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$.

**Axioma 1:** El zero és un nombre natural: $0 \in \mathbb{N}$.

**Axioma 2:** Tot nombre natural té un successor: Per a tot $n \in \mathbb{N}$, existeix un únic $S(n) \in \mathbb{N}$.

**Axioma 3:** El zero no és el successor de cap nombre natural: Per a tot $n \in \mathbb{N}$, $S(n) \neq 0$.

**Axioma 4:** La funció successor és injectiva: Si $m, n \in \mathbb{N}$ i $m \neq n$, llavors $S(m) \neq S(n)$.

**Axioma 5 (Principi d'Inducció):** Si un subconjunt $K \subseteq \mathbb{N}$ compleix: - $0 \in K$ - Per a tot $k \in K$, el seu successor $S(k)$ també pertany a $K$

Llavors $K = \mathbb{N}$.

### Definició recursiva de les operacions

A partir dels axiomes de Peano, es defineixen recursivament l'addició i la multiplicació:

**Addició:** $$n + 0 = n$$ $$n + S(m) = S(n + m)$$

**Multiplicació:** $$n \cdot 0 = 0$$ $$n \cdot S(m) = (n \cdot m) + n$$

## 3. Sistemes de Numeració

Un **sistema de numeració** és un conjunt de símbols i regles que permeten representar tots els nombres. Es classifiquen en **posicionals** i **no posicionals**.

### 3.1 Sistemes No Posicionals

El valor d'un símbol és fix i no depèn de la seva posició. El resultat s'obté sumant (o restant) els valors.

**Sistema Romà:** Utilitza les lletres I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

*Regles:* - **Additiva:** Un símbol a la dreta d'un altre d'igual o major valor, suma. Ex: $XI = 10 + 1 = 11$ - **Sostractiva:** I, X, C a l'esquerra d'un símbol major (dels dos següents) resten. Ex: $IV = 5 - 1 = 4$

### 3.2 Sistemes Posicionals

El valor d'un dígit depèn del símbol i de la seva posició. Tot sistema posicional té una **base** $b$, que és el nombre de dígits únics.

Un nombre $N$ representat en base $b$ com $(d_n d_{n-1} \ldots d_1 d_0)_b$ té valor:

$$N = \sum_{i=0}^{n} d_i \cdot b^i = d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + \cdots + d_1 \cdot b + d_0$$

on $0 \leq d_i < b$.

**Sistema Decimal (Base 10):** Dígits $\{0, 1, 2, \ldots, 9\}$. Ex: $3145 = 3 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 5$

**Sistema Binari (Base 2):** Dígits $\{0, 1\}$ (bits). Fonamental en informàtica. Ex: $1101_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2 + 1 = 13_{10}$

**Sistema Octal (Base 8):** Dígits $\{0, 1, \ldots, 7\}$. Ex: $375_8 = 3 \cdot 64 + 7 \cdot 8 + 5 = 253_{10}$

**Sistema Hexadecimal (Base 16):** Dígits $\{0, \ldots, 9, A, B, C, D, E, F\}$ on $A=10, \ldots, F=15$. Ex: $2AF_{16} = 2 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 15 = 687_{10}$

## 4. Conversions Entre Bases

### 4.1 De base $b$ a base 10

S'utilitza el desenvolupament polinòmic:

**Exemple:** Convertir $413_5$ a base 10. $$413_5 = 4 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5 + 3 = 100 + 5 + 3 = 108_{10}$$

### 4.2 De base 10 a base $b$

S'utilitza el mètode de **divisions successives**: es divideix pel nombre de la nova base repetidament, els residus (llegits en ordre invers) formen el nombre.

**Exemple:** Convertir $108_{10}$ a base 5. - $108 \div 5 = 21$ (residu **3**) - $21 \div 5 = 4$ (residu **1**) - $4 \div 5 = 0$ (residu **4**)

Llegint de baix a dalt: $108_{10} = 413_5$

### 4.3 Conversions Binari-Hexadecimal

Com que $16 = 2^4$, cada dígit hexadecimal correspon a 4 bits:

- **Binari → Hexadecimal:** Agrupar bits de 4 en 4 (de dreta a esquerra). Ex: $1110101101_2 = 0011|1010|1101 = 3AD_{16}$ - **Hexadecimal → Binari:** Substituir cada dígit hex pel seu quartet binari. Ex: $5F2_{16} = 0101|1111|0010 = 10111110010_2$

## 5. Operacions amb Naturals i Propietats

El conjunt $(\mathbb{N}, +, \cdot)$ satisfà les propietats següents:

| Propietat | Addició | Multiplicació | |-----------|---------|---------------| | Clausura | $a + b \in \mathbb{N}$ | $a \cdot b \in \mathbb{N}$ | | Associativa | $(a+b)+c = a+(b+c)$ | $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ | | Commutativa | $a+b = b+a$ | $a \cdot b = b \cdot a$ | | Element neutre | $a + 0 = a$ | $a \cdot 1 = a$ |

**Propietat distributiva:** $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

**Nota:** La sostracció i la divisió NO són operacions internes a $\mathbb{N}$ (no sempre donen resultat natural).

## 6. El Principi d'Inducció Matemàtica

Basat en el cinquè axioma de Peano, serveix per demostrar que una propietat $P(n)$ és vàlida per a tots els naturals a partir d'un valor inicial $n_0$.

**Estructura:** 1. **Pas base:** Demostrar que $P(n_0)$ és certa. 2. **Pas inductiu:** Suposant que $P(k)$ és certa (hipòtesi d'inducció), demostrar que $P(k+1)$ també ho és.

**Exemple clàssic:** Demostrar que $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

*Pas base ($n=1$):* $\sum_{i=1}^{1} i = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ ✓

*Pas inductiu:* Suposem cert per $k$: $\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$

Provem per $k+1$: $$\sum_{i=1}^{k+1} i = \sum_{i=1}^{k} i + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Que és exactament la fórmula per a $n = k+1$. ∎

## 7. Història dels Sistemes de Numeració

### 7.1 Civilitzacions antigues

**Egipcis (3000 a.C.):** Sistema additiu de base 10 amb jeroglífics. Cada potència de 10 tenia un símbol diferent (bastó=1, ferradura=10, espiral=100, flor de lotus=1000).

**Babilonis (2000 a.C.):** Sistema **sexagesimal** (base 60) posicional amb només dos símbols cuneïformes. Herència actual: 60 minuts, 60 segons, 360°.

**Maies (250 a.C.):** Sistema **vigesimal** (base 20) posicional. Una de les primeres cultures en usar el **zero** com a símbol.

**Grecs:** Sistema alfabètic (cada lletra tenia valor numèric).

### 7.2 El sistema hindú-àrab

Va sorgir a l'**Índia** (s. V-VI d.C.) amb dues innovacions revolucionàries: 1. Sistema posicional de **base 10** 2. Símbol per al **zero**

Els matemàtics àrabs, especialment **Al-Khwarizmi** (s. IX), el van adoptar i perfeccionar. **Fibonacci** el va introduir a Europa el 1202 amb el seu *Liber Abaci*.

## 8. Aplicacions Didàctiques

### 8.1 ESO

- **Materials manipulatius:** Àbacs, blocs multibase per visualitzar el valor posicional - **Projectes històrics:** Investigar sistemes egipci, romà o maia; intentar operar amb numerals romans per entendre les limitacions - **Informàtica:** Introduir el binari com "l'idioma dels ordinadors" (interruptors on/off) - **Jocs:** Endevinar nombres en binari, convertir l'edat a hexadecimal

### 8.2 Batxillerat

- **Demostracions per inducció:** Fórmules de sumatoris, desigualtats, divisibilitat - **Axiomàtica:** Discussió sobre què significa "definir" matemàticament - **Ampliació:** Representació de fraccions en diferents bases, periodicitat

## 9. Conclusions

Els nombres naturals, tot i semblar intuïtius, requereixen una fonamentació rigorosa que proporcionen els axiomes de Peano. Els sistemes de numeració posicionals, especialment el decimal, van representar un avenç enorme per a la humanitat en permetre càlculs eficients. El principi d'inducció és l'eina fonamental per demostrar propietats sobre $\mathbb{N}$.