T20. Derivació de funcions d'una variable real

Desarrollo del tema

# DERIVACIÓ DE FUNCIONS D'UNA VARIABLE REAL

## 1. Introducció

La **derivada** mesura la variació instantània d'una funció. Geomètricament és el pendent de la recta tangent a la gràfica i, físicament, representa magnituds com la velocitat (derivada de la posició) o l'acceleració (derivada de la velocitat).

La derivació es fonamenta en límits i és la base del càlcul diferencial: aproximacions locals, estudi de monotonia i extrems, convexitat, optimització i mètodes numèrics.

## 2. Definició de derivada

Sigui $f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ i $a$ un punt interior de $D$.

### 2.1 Quocient incremental

La derivada de $f$ en $a$ és: $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$ si aquest límit existeix (i és finit).

Equivalentment: $$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

### 2.2 Interpretació geomètrica

El quocient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ és el pendent de la recta secant entre $(a,f(a))$ i $(a+h,f(a+h))$. Quan $h\to 0$, la secant tendeix a la **tangent**.

Equació de la tangent en $a$: $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

### 2.3 Derivades laterals

Si el domini té un extrem (o la funció és definida per trams), es defineixen derivades:

$$f'_-(a)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad f'_+(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

$f$ és derivable en $a$ si i només si existeixen i coincideixen: $f'_-(a)=f'_+(a)$.

### 2.4 Derivabilitat i continuïtat

**Teorema:** Si $f$ és derivable en $a$, llavors és contínua en $a$.

El recíproc és fals: $f(x)=|x|$ és contínua a 0 però no derivable a 0 (pendent esquerra -1 i dreta 1).

## 3. Regles de derivació

Si $f$ i $g$ són derivables en $x$:

1. **Linealitat:** $(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$. 2. **Producte:** $(fg)'=f'g+fg'$. 3. **Quocient:** $(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ si $g\neq 0$. 4. **Cadena:** $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$.

### 3.1 Derivada de la funció inversa

Si $f$ és bijectiva, contínua i estrictament monòtona, i derivable amb $f'(a)\neq 0$, llavors $f^{-1}$ és derivable en $b=f(a)$ i: $$\big(f^{-1}\big)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.$$

### 3.2 Derivació implícita

Si $F(x,y)=0$ defineix $y=y(x)$ i $F_y\neq 0$, llavors: $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.$$

Exemple: $x^2+y^2=1$ → $2x+2y y'=0$ → $y'=-x/y$.

## 4. Taula de derivades bàsiques

Per a $x$ on estigui definida:

- $(c)'=0$ - $(x^n)'=n x^{n-1}$ (per $n\in\mathbb{Z}$ i també $n\in\mathbb{R}$ amb $x>0$) - $(e^x)'=e^x$ - $(a^x)'=a^x\ln a$ ($a>0$, $a\neq 1$) - $(\ln x)'=1/x$ ($x>0$) - $(\sin x)'=\cos x$ - $(\cos x)'=-\sin x$ - $(\tan x)'=1/\cos^2 x$ - $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$

## 5. Derivades d'ordre superior

Si $f'$ és derivable, definim la segona derivada $f''$. En general: $$f^{(n)}=\underbrace{(\cdots(f')'\cdots)'}_{n\text{ vegades}}.$$

Interpretació: - $f''>0$ indica convexitat local (corba cap amunt). - $f''<0$ concavitat.

## 6. Teoremes fonamentals del càlcul diferencial

### 6.1 Teorema de Rolle

Si $f$ és contínua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ i $f(a)=f(b)$, llavors existeix $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

### 6.2 Teorema del valor mitjà (Lagrange)

Si $f$ és contínua en $[a,b]$ i derivable en $(a,b)$, existeix $c\in(a,b)$ tal que: $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Interpretació: hi ha un punt on el pendent instantani iguala el pendent mitjà.

**Conseqüència:** si $f'(x)=0$ a $(a,b)$, llavors $f$ és constant en $[a,b]$.

### 6.3 Teorema de Cauchy

Si $f,g$ són contínues en $[a,b]$ i derivables en $(a,b)$, existeix $c$ tal que: $$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$ sempre que $g'(x)\neq 0$.

D'aquest teorema es dedueix la regla de l'Hôpital (quan es tracta a fons).

## 7. Aplicacions: monotonia i extrems

### 7.1 Monotonia

Si $f'(x)\ge 0$ en un interval, $f$ és creixent; si $f'(x)\le 0$, decreixent.

Si $f'(x)>0$ en tot l'interval, $f$ és estrictament creixent.

### 7.2 Extrems relatius

Un punt $a$ és un **màxim relatiu** si $f(a)\ge f(x)$ prop d'$a$; mínim relatiu si $f(a)\le f(x)$.

**Condició necessària:** si $f$ és derivable en $a$ i té extrem relatiu, llavors $f'(a)=0$.

**Punts crítics:** punts on $f'(a)=0$ o $f'$ no existeix.

### 7.3 Criteri de la primera derivada

Analitzant el signe de $f'$ als intervals: - $f'$ passa de + a - → màxim - $f'$ passa de - a + → mínim

### 7.4 Criteri de la segona derivada

Si $f'(a)=0$ i $f''(a)>0$ → mínim relatiu.

Si $f'(a)=0$ i $f''(a)<0$ → màxim relatiu.

Si $f''(a)=0$, el criteri és inconcloent.

## 8. Convexitat i punts d'inflexió

- $f$ és **convexa** en un interval si la corda queda per sobre de la gràfica. - Suficientment, si $f''(x)\ge 0$ en l'interval.

Un **punt d'inflexió** és un punt on canvia la concavitat (el signe de $f''$ canvia). Pot existir sense que $f''(a)=0$ si $f''$ no existeix.

## 9. Aproximació local: fórmula de Taylor

Si $f$ és $n$ vegades derivable en un entorn d'$a$: $$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x).$$

Si el residu $R_n(x)$ és petit, el polinomi de Taylor dóna una aproximació molt bona.

Cas $n=1$ (aproximació lineal): $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

Interpretació: la derivada dona la millor aproximació lineal local.

## 10. Regla de l'Hôpital (menció)

Per a límits indeterminats $0/0$ o $\infty/\infty$, sota hipòtesis adequades: $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

En oposicions convé citar-la amb prudència i especificant condicions.

## 11. Aplicacions

- Optimització de problemes (cost mínim, àrea màxima, etc.) - Física: velocitat $v=s'(t)$, acceleració $a=s''(t)$ - Economia: marginal (cost marginal, benefici marginal) - Mètodes numèrics: Newton-Raphson per a zeros: $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$

## 12. Aplicacions Didàctiques

- Relacionar derivada amb pendent de tangents a gràfiques. - Treballar amb funcions definides a trossos (derivades laterals). - Connectar teoremes (Rolle, Lagrange) amb interpretació geomètrica. - Problemes d'optimització contextualitzats.

## 13. Conclusions

La derivada és l'eina essencial per entendre el comportament local d'una funció i extreure informació global (monotonia, extrems, convexitat). Les regles de derivació i els teoremes fonamentals formen el nucli del càlcul diferencial i són imprescindibles en la formació matemàtica i en les oposicions.