T25. Funcions de diverses variables reals. Derivades parcials

Desarrollo del tema

# FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES REALS. DERIVADES PARCIALS

## 1. Introducció

Les **funcions de diverses variables** estenen el càlcul d'una variable a contextos més generals. La majoria de fenòmens físics depenen de múltiples paràmetres: temperatura, pressió, posició, temps... Les **derivades parcials** permeten estudiar com varia la funció respecte a cada variable per separat.

## 2. Espai Euclidià $\mathbb{R}^n$

### 2.1 Definicions bàsiques

L'**espai euclidià** $\mathbb{R}^n$ és el conjunt de n-tuples ordenades: $$\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$$

**Norma euclidiana:** $$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$$

**Distància:** $$d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$$

**Producte escalar:** $$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i$$

### 2.2 Topologia bàsica

**Bola oberta** de centre $\mathbf{a}$ i radi $r$: $$B(\mathbf{a}, r) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \|\mathbf{x} - \mathbf{a}\| < r\}$$

**Punt interior:** $\mathbf{a}$ és interior a $A$ si existeix $r > 0$ tal que $B(\mathbf{a}, r) \subseteq A$

**Conjunt obert:** Tot punt és interior

**Conjunt tancat:** El seu complementari és obert

**Punt adherent:** Tot entorn conté punts de $A$

**Clausura:** $\bar{A}$ = conjunt de punts adherents

**Frontera:** $\partial A = \bar{A} \setminus \text{int}(A)$

**Conjunt fitat:** Contingut en alguna bola

**Conjunt compacte:** Tancat i fitat (en $\mathbb{R}^n$)

**Conjunt connex:** No es pot separar en dos oberts disjunts no buits

## 3. Funcions de Diverses Variables

### 3.1 Definició

Una **funció de $n$ variables** és una aplicació: $$f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$ $$(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$

**Casos importants:** - $n = 2$: $f(x, y)$ — superfícies en $\mathbb{R}^3$ - $n = 3$: $f(x, y, z)$ — camps escalars

### 3.2 Domini

El **domini** és el conjunt de punts on $f$ està definida.

**Exemple:** $f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

Domini: $\{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$ (disc tancat)

### 3.3 Representació gràfica

Per a $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, la gràfica és la superfície: $$\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z = f(x,y)\}$$

**Corbes de nivell:** $\{(x,y) : f(x,y) = c\}$ (projecció al pla de les interseccions amb plans $z = c$)

**Superfícies de nivell (3 variables):** $\{(x,y,z) : f(x,y,z) = c\}$

## 4. Límits i Continuïtat

### 4.1 Límit

$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$$

si per a tot $\epsilon > 0$ existeix $\delta > 0$ tal que: $$0 < \|(x,y) - (a,b)\| < \delta \Rightarrow |f(x,y) - L| < \epsilon$$

**Important:** El límit ha d'existir i ser el mateix per qualsevol camí d'aproximació.

### 4.2 Límits iterats vs límit doble

**Límits iterats:** $$\lim_{x \to a} \left(\lim_{y \to b} f(x,y)\right) \quad \text{i} \quad \lim_{y \to b} \left(\lim_{x \to a} f(x,y)\right)$$

**Atenció:** Els límits iterats poden existir i ser iguals sense que el límit doble existeixi!

**Exemple:** $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ en $(0,0)$

- Per l'eix $x$ ($y=0$): límit = 0 - Per l'eix $y$ ($x=0$): límit = 0 - Per $y = x$: $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

El límit no existeix (depèn del camí).

### 4.3 Tècniques per demostrar no-existència

1. Trobar dos camins amb límits diferents 2. Usar camins generals $y = mx^k$

### 4.4 Tècniques per demostrar existència

1. **Acotació:** $|f(x,y) - L| \leq g(x,y) \to 0$ 2. **Coordenades polars:** Si $f(r\cos\theta, r\sin\theta) \to L$ independent de $\theta$ quan $r \to 0$

### 4.5 Continuïtat

$f$ és **contínua** en $(a,b)$ si: $$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)$$

**Teorema:** Composicions, sumes, productes i quocients (denominador $\neq 0$) de funcions contínues són contínues.

**Teorema de Weierstrass:** Si $f$ és contínua en un compacte $K$, llavors $f$ assoleix màxim i mínim.

## 5. Derivades Parcials

### 5.1 Definició

La **derivada parcial** de $f(x,y)$ respecte a $x$ en $(a,b)$ és: $$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}$$

Equival a derivar $f$ com a funció d'$x$ mantenint $y$ constant.

**Notacions:** $$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f = D_x f$$

### 5.2 Càlcul pràctic

Per calcular $\frac{\partial f}{\partial x}$: derivar respecte a $x$ tractant les altres variables com a constants.

**Exemple:** $f(x,y) = x^2 y + \sin(xy)$ $$f_x = 2xy + y\cos(xy)$$ $$f_y = x^2 + x\cos(xy)$$

### 5.3 Interpretació geomètrica

$f_x(a,b)$ és el pendent de la corba intersecció de la superfície $z = f(x,y)$ amb el pla $y = b$.

### 5.4 Derivades parcials d'ordre superior

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

**Teorema de Schwarz (Young-Clairaut):** Si $f_{xy}$ i $f_{yx}$ són contínues, llavors: $$f_{xy} = f_{yx}$$

Les derivades creuades són iguals (sota condicions de regularitat).

### 5.5 Notació per a n variables

Per a $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$: $$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_i + h, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_n)}{h}$$

## 6. Gradient

### 6.1 Definició

El **gradient** de $f$ és el vector de derivades parcials: $$\nabla f = \text{grad } f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$

Per a $f(x,y)$: $\nabla f = (f_x, f_y)$

### 6.2 Propietats

- $\nabla f$ apunta en la direcció de **màxim creixement** de $f$ - $\|\nabla f\|$ és la **taxa màxima de variació** - $\nabla f$ és **perpendicular** a les corbes/superfícies de nivell

## 7. Derivada Direccional

### 7.1 Definició

La **derivada direccional** de $f$ en la direcció del vector unitari $\mathbf{u}$: $$D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{a}) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t\mathbf{u}) - f(\mathbf{a})}{t}$$

### 7.2 Fórmula amb el gradient

Si $f$ és diferenciable: $$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \|\nabla f\| \cos\theta$$

on $\theta$ és l'angle entre $\nabla f$ i $\mathbf{u}$.

**Conseqüències:** - Màxim en direcció de $\nabla f$: $D_{\nabla f/\|\nabla f\|} f = \|\nabla f\|$ - Mínim en direcció oposada: $D_{-\nabla f/\|\nabla f\|} f = -\|\nabla f\|$ - Zero perpendicular al gradient (tangent a corba de nivell)

## 8. Regla de la Cadena

### 8.1 Cas bàsic

Si $z = f(x,y)$ amb $x = x(t)$, $y = y(t)$: $$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

### 8.2 Cas general

Si $z = f(x,y)$ amb $x = x(u,v)$, $y = y(u,v)$: $$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$$ $$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$

### 8.3 Notació matricial

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix}$$

## 9. Derivació Implícita

Si $F(x,y) = 0$ defineix $y$ com a funció de $x$: $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$ (si $F_y \neq 0$)

Per a $F(x,y,z) = 0$ definint $z = z(x,y)$: $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

## 10. Existència de Derivades vs Continuïtat

**Atenció:** A diferència d'una variable, l'existència de derivades parcials NO implica continuïtat.

**Exemple clàssic:** $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$

Aquesta funció té $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$, però no és contínua a l'origen.

La condició que garanteix continuïtat és la **diferenciabilitat** (tema següent).

## 11. Conclusions

Les funcions de diverses variables i les derivades parcials són fonamentals per descriure fenòmens multidimensionals. El gradient sintetitza la informació de totes les derivades parcials i indica la direcció de màxim creixement. La regla de la cadena permet calcular derivades de funcions compostes. Cal tenir present que l'existència de derivades parcials és una condició més feble que la continuïtat.