T52. Estadística descriptiva

Desarrollo del tema

# ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL I BIDIMENSIONAL

## 1. Introducció

L'**estadística descriptiva** s'ocupa de recollir, organitzar, resumir i presentar dades de manera que siguin fàcilment comprensibles. A diferència de l'estadística inferencial, no pretén generalitzar a una població més àmplia, sinó descriure les característiques de les dades observades. És la base fonamental per a qualsevol anàlisi estadístic posterior.

## 2. Conceptes Bàsics

### 2.1 Terminologia

- **Població:** Conjunt complet d'elements sobre els quals es vol estudiar una característica. - **Mostra:** Subconjunt de la població seleccionat per a l'estudi. - **Individu:** Cada element de la població o mostra. - **Variable estadística:** Característica que es mesura o observa en cada individu. - **Dada:** Valor concret que pren la variable en un individu.

### 2.2 Tipus de variables

**Variables qualitatives (categòriques):** - **Nominals:** Categories sense ordre (color d'ulls, estat civil) - **Ordinals:** Categories amb ordre (nivell d'estudis, satisfacció)

**Variables quantitatives (numèriques):** - **Discretes:** Valors enters o comptables (nombre de fills) - **Contínues:** Qualsevol valor en un interval (alçada, temperatura)

## 3. Organització de Dades

### 3.1 Taula de freqüències

Per a una variable amb valors $x_1, x_2, \ldots, x_k$:

| Valor | Freq. absoluta | Freq. relativa | Freq. acumulada | |-------|----------------|----------------|-----------------| | $x_i$ | $n_i$ | $f_i = n_i/n$ | $N_i = \sum_{j=1}^{i} n_j$ |

On $n = \sum_{i=1}^{k} n_i$ és el total d'observacions.

### 3.2 Agrupació en intervals (dades contínues)

Per a dades contínues o molt disperses, s'agrupen en **classes** o intervals $[L_i, L_{i+1})$.

- **Marca de classe:** $c_i = (L_i + L_{i+1})/2$ - **Amplitud:** $a_i = L_{i+1} - L_i$ - **Nombre d'intervals (regla de Sturges):** $k \approx 1 + 3.322 \log_{10}(n)$

### 3.3 Representacions gràfiques

**Per a variables qualitatives:** - **Diagrama de barres:** Barres separades amb alçada proporcional a la freqüència - **Diagrama de sectors:** Angles proporcionals ($\theta_i = 360° \cdot f_i$)

**Per a variables quantitatives discretes:** - **Diagrama de barres** - **Polígon de freqüències**

**Per a variables quantitatives contínues:** - **Histograma:** Barres adjacents, àrea proporcional a la freqüència - **Polígon de freqüències:** Unió de marques de classe - **Ogiva:** Polígon de freqüències acumulades

## 4. Mesures de Posició Central

### 4.1 Mitjana aritmètica

Per a dades individuals $x_1, x_2, \ldots, x_n$: $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Per a dades agrupades amb freqüències: $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i \cdot x_i = \sum_{i=1}^{k} f_i \cdot x_i$$

**Propietats:** - $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$ (suma de desviacions és zero) - $\bar{x}(ax + b) = a\bar{x} + b$ (linealitat) - Sensible a valors extrems (outliers)

### 4.2 Mediana

El valor que deixa el 50% de les dades per sota i el 50% per sobre.

**Càlcul per a dades ordenades:** $$Me = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{si } n \text{ senar} \\ \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{si } n \text{ parell} \end{cases}$$

**Per a dades agrupades en intervals:** $$Me = L_i + \frac{n/2 - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$$

on $L_i$ és el límit inferior de l'interval medià (el primer amb $N_i \geq n/2$).

**Propietats:** - Robusta davant de valors extrems - Adequada per a distribucions asimètriques

### 4.3 Moda

El valor amb major freqüència. Pot no ser única (distribució bimodal, multimodal) o no existir.

**Per a dades agrupades (fórmula de Czuber):** $$Mo = L_i + \frac{n_i - n_{i-1}}{(n_i - n_{i-1}) + (n_i - n_{i+1})} \cdot a_i$$

### 4.4 Relació entre mitjana, mediana i moda

- **Distribució simètrica:** $\bar{x} \approx Me \approx Mo$ - **Asimetria positiva (cua dreta):** $Mo < Me < \bar{x}$ - **Asimetria negativa (cua esquerra):** $\bar{x} < Me < Mo$

### 4.5 Altres mitjanes

**Mitjana geomètrica:** $G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$ (per a taxes de creixement)

**Mitjana harmònica:** $H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} 1/x_i}$ (per a velocitats, preus)

**Mitjana quadràtica:** $Q = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}$

**Desigualtat:** $H \leq G \leq \bar{x} \leq Q$ (igualtat si tots els valors són iguals)

## 5. Mesures de Posició No Central (Quantils)

### 5.1 Quartils

Divideixen la distribució en 4 parts iguals: - $Q_1$: Primer quartil (25%) - $Q_2 = Me$: Segon quartil (50%) - $Q_3$: Tercer quartil (75%)

### 5.2 Percentils

El percentil $P_k$ deixa el $k\%$ de les dades per sota. Per exemple, $P_{90}$ és el valor per sota del qual hi ha el 90% de les dades.

**Càlcul per a dades agrupades:** $$P_k = L_i + \frac{kn/100 - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$$

### 5.3 Decils

Divideixen la distribució en 10 parts iguals: $D_1, D_2, \ldots, D_9$.

## 6. Mesures de Dispersió

### 6.1 Rang o recorregut

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

Simple però molt sensible a valors extrems.

### 6.2 Rang interquartílic

$$RIQ = Q_3 - Q_1$$

Mesura la dispersió del 50% central. Més robust que el rang.

### 6.3 Variància

**Variància poblacional:** $$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$$

**Variància mostral (corregida):** $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

**Propietats:** - $\sigma^2 \geq 0$ (sempre no negativa) - $\sigma^2(ax + b) = a^2 \sigma^2$ (no depèn del terme independent) - Unitats al quadrat

### 6.4 Desviació típica

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Té les mateixes unitats que les dades.

### 6.5 Coeficient de variació

$$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \cdot 100\%$$

Permet comparar dispersions de variables amb unitats o escales diferents.

## 7. Mesures de Forma

### 7.1 Coeficient d'asimetria de Fisher

$$g_1 = \frac{m_3}{\sigma^3} = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^3}{\sigma^3}$$

- $g_1 > 0$: Asimetria positiva (cua dreta) - $g_1 < 0$: Asimetria negativa (cua esquerra) - $g_1 = 0$: Distribució simètrica

### 7.2 Coeficient de curtosi

$$g_2 = \frac{m_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^4}{\sigma^4} - 3$$

- $g_2 > 0$: Leptocúrtica (més apuntada que la normal) - $g_2 < 0$: Platicúrtica (més aplanada que la normal) - $g_2 = 0$: Mesocúrtica (com la normal)

## 8. Diagrama de Caixa (Box Plot)

Representació gràfica basada en els quartils: - La caixa va de $Q_1$ a $Q_3$ (conté el 50% central) - Línia interior marca la mediana - Bigotis s'estenen fins a $Q_1 - 1.5 \cdot RIQ$ i $Q_3 + 1.5 \cdot RIQ$ - Valors fora dels bigotis són **outliers** (atípics)

## 9. Estadística Bidimensional

### 9.1 Distribucions conjuntes

Per a dues variables $(X, Y)$ observades conjuntament, es construeix una taula de doble entrada amb freqüències conjuntes $n_{ij}$.

### 9.2 Distribucions marginals i condicionades

- **Marginal de X:** $n_{i\cdot} = \sum_j n_{ij}$ - **Condicionada de X donat Y=yⱼ:** $n_{i|j} = n_{ij}$ amb freqüències relatives $f_{i|j} = n_{ij}/n_{\cdot j}$

### 9.3 Independència estadística

Dues variables són independents si: $$f_{ij} = f_{i\cdot} \cdot f_{\cdot j} \quad \forall i, j$$

Equivalentment, les distribucions condicionades són iguals a la marginal.

## 10. Tipificació

### 10.1 Variable tipificada

La transformació: $$z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{\sigma}$$

produeix una variable amb $\bar{z} = 0$ i $\sigma_z = 1$.

### 10.2 Aplicació

- Comparar valors de distribucions diferents - Detectar valors atípics ($|z| > 2$ o $|z| > 3$) - Base per a la distribució normal estàndard

## 11. Aplicacions Didàctiques

### 11.1 A l'ESO

- Enquestes a classe: recollida i organització de dades reals - Gràfics amb paper i programari (Excel, GeoGebra) - Càlcul de mitjana, mediana, moda amb calculadora

### 11.2 Al Batxillerat

- Anàlisi complet: dispersió, asimetria, curtosi - Comparació de distribucions amb tipificació - Projectes d'investigació estadística amb dades reals - Programació de funcions estadístiques

## 12. Conclusions

L'estadística descriptiva proporciona les eines bàsiques per resumir i comunicar informació continguda en conjunts de dades. Les mesures de centralització, dispersió i forma ofereixen una caracterització completa d'una distribució. La representació gràfica adequada és essencial per a la comprensió i comunicació dels resultats.