T12. Aplicacions lineals. Espai dual

Desarrollo del tema

# APLICACIONS LINEALS. ESPAI DUAL

## 1. Introducció

Les **aplicacions lineals** són les funcions que preserven l'estructura d'espai vectorial. Constitueixen l'objecte central de l'àlgebra lineal i tenen aplicacions en geometria, física, enginyeria i ciència de dades. L'**espai dual** proporciona una perspectiva complementària essencial per entendre fenòmens com les formes diferencials i la mecànica quàntica.

## 2. Definició d'Aplicació Lineal

Siguin $V$ i $W$ espais vectorials sobre el mateix cos $K$. Una aplicació $f: V \to W$ és **lineal** (o un **homomorfisme** d'espais vectorials) si:

1. **Additivitat:** $f(u + v) = f(u) + f(v)$ per a tot $u, v \in V$ 2. **Homogeneïtat:** $f(\lambda v) = \lambda f(v)$ per a tot $\lambda \in K$, $v \in V$

Aquestes dues condicions s'unifiquen en: $$f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v) \quad \forall \lambda, \mu \in K, \, u, v \in V$$

### Terminologia

- **Endomorfisme:** Aplicació lineal $f: V \to V$ (mateix espai) - **Isomorfisme:** Aplicació lineal bijectiva - **Automorfisme:** Isomorfisme $f: V \to V$

## 3. Propietats Fonamentals

**Proposició:** Si $f: V \to W$ és lineal, llavors:

1. $f(\vec{0}_V) = \vec{0}_W$ (la imatge del vector nul és el vector nul) 2. $f(-v) = -f(v)$ per a tot $v \in V$ 3. $f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)$ (preserva combinacions lineals)

**Conseqüència important:** Una aplicació lineal queda completament determinada pels valors que pren sobre una base de $V$.

## 4. Exemples d'Aplicacions Lineals

### 4.1 Transformacions geomètriques en $\mathbb{R}^2$

**Rotació** d'angle $\theta$: $$R_\theta(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, \, x\sin\theta + y\cos\theta)$$

**Reflexió** respecte l'eix $x$: $$S(x, y) = (x, -y)$$

**Homotècia** de raó $k$: $$H_k(x, y) = (kx, ky)$$

### 4.2 Derivació

$D: \mathbb{R}[x]_n \to \mathbb{R}[x]_{n-1}$ definida per $D(p) = p'$ és lineal: - $D(p + q) = (p + q)' = p' + q' = D(p) + D(q)$ - $D(\lambda p) = (\lambda p)' = \lambda p' = \lambda D(p)$

### 4.3 Integració definida

$I: \mathcal{C}[a,b] \to \mathbb{R}$ definida per $I(f) = \int_a^b f(x)\,dx$ és lineal.

### 4.4 Avaluació

Per a $a \in \mathbb{R}$, l'aplicació $\text{ev}_a: \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}$ amb $\text{ev}_a(p) = p(a)$ és lineal.

## 5. Nucli i Imatge

### 5.1 Nucli (Kernel)

El **nucli** de $f: V \to W$ és: $$\ker(f) = \{v \in V : f(v) = \vec{0}_W\}$$

**Propietats:** - $\ker(f)$ és un **subespai vectorial** de $V$ - $f$ és **injectiva** $\Leftrightarrow$ $\ker(f) = \{\vec{0}\}$

### 5.2 Imatge

La **imatge** de $f: V \to W$ és: $$\text{Im}(f) = \{f(v) : v \in V\} = \{w \in W : \exists v \in V, f(v) = w\}$$

**Propietats:** - $\text{Im}(f)$ és un **subespai vectorial** de $W$ - $f$ és **exhaustiva** $\Leftrightarrow$ $\text{Im}(f) = W$

## 6. Teorema de la Dimensió (Rang-Nul·litat)

**Teorema fonamental:** Sigui $f: V \to W$ una aplicació lineal amb $\dim(V) = n$. Llavors: $$\dim(\ker f) + \dim(\text{Im} f) = \dim(V)$$

O equivalentment: **nul·litat + rang = dimensió del domini**

on: - **Nul·litat** de $f$ = $\dim(\ker f)$ - **Rang** de $f$ = $\dim(\text{Im} f)$

### Conseqüències

1. Si $\dim V = \dim W = n$ i $f: V \to W$ és lineal: $$f \text{ injectiva} \Leftrightarrow f \text{ exhaustiva} \Leftrightarrow f \text{ isomorfisme}$$

2. Si $\dim V > \dim W$, cap aplicació lineal $f: V \to W$ pot ser injectiva.

3. Si $\dim V < \dim W$, cap aplicació lineal $f: V \to W$ pot ser exhaustiva.

## 7. Matriu Associada a una Aplicació Lineal

Siguin $B = \{e_1, \ldots, e_n\}$ base de $V$ i $B' = \{e'_1, \ldots, e'_m\}$ base de $W$.

La **matriu associada** a $f: V \to W$ respecte aquestes bases és la matriu $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$ les columnes de la qual són les coordenades de $f(e_j)$ en la base $B'$: $$M = \mathcal{M}_{B'}^B(f) = \begin{pmatrix} [f(e_1)]_{B'} & [f(e_2)]_{B'} & \cdots & [f(e_n)]_{B'} \end{pmatrix}$$

### Propietat fonamental

Si $v \in V$ té coordenades $[v]_B$, llavors: $$[f(v)]_{B'} = M \cdot [v]_B$$

### Canvi de base

Si canviem les bases amb matrius de canvi $P$ (a $V$) i $Q$ (a $W$), la nova matriu és: $$M' = Q^{-1} M P$$

## 8. Composició i Isomorfismes

### Composició

Si $f: V \to W$ i $g: W \to U$ són lineals, la composició $g \circ f: V \to U$ és lineal.

**En matrius:** $\mathcal{M}(g \circ f) = \mathcal{M}(g) \cdot \mathcal{M}(f)$

### Teorema d'isomorfisme

Dos espais vectorials de dimensió finita sobre el mateix cos són **isomorfs** si i només si tenen la **mateixa dimensió**.

En particular: $V \cong K^n$ si $\dim(V) = n$ (tot espai és isomorf a un espai de coordenades).

## 9. L'Espai Dual

### 9.1 Definició

L'**espai dual** de $V$, denotat $V^*$, és el conjunt de totes les aplicacions lineals de $V$ a $K$: $$V^* = \mathcal{L}(V, K) = \{\varphi: V \to K : \varphi \text{ és lineal}\}$$

Els elements de $V^*$ s'anomenen **formes lineals** o **funcionals lineals**.

### 9.2 Estructura d'espai vectorial

$V^*$ és un espai vectorial amb les operacions: - $(\varphi + \psi)(v) = \varphi(v) + \psi(v)$ - $(\lambda \varphi)(v) = \lambda \cdot \varphi(v)$

**Teorema:** Si $\dim(V) = n$, llavors $\dim(V^*) = n$.

### 9.3 Base dual

Sigui $B = \{e_1, \ldots, e_n\}$ una base de $V$. La **base dual** $B^* = \{e_1^*, \ldots, e_n^*\}$ de $V^*$ es defineix per: $$e_i^*(e_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}$$

on $\delta_{ij}$ és la **delta de Kronecker**.

### 9.4 Expressió de formes lineals

Tota forma lineal $\varphi \in V^*$ s'escriu: $$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi(e_i) \cdot e_i^*$$

Si $v = \sum_j x_j e_j$, llavors $\varphi(v) = \sum_i \varphi(e_i) x_i$.

## 10. El Bidual i Reflexivitat

El **bidual** de $V$ és $V^{**} = (V^*)^*$.

**Aplicació canònica:** Existeix una aplicació lineal natural $J: V \to V^{**}$ definida per: $$J(v)(\varphi) = \varphi(v) \quad \text{per a tot } \varphi \in V^*$$

**Teorema:** L'aplicació $J$ és injectiva. Si $\dim(V) < \infty$, llavors $J$ és un **isomorfisme** (i diem que $V$ és **reflexiu**).

Això permet identificar $V$ amb $V^{**}$ de forma canònica (sense triar bases).

## 11. Aplicació Dual (Transposada)

Donada $f: V \to W$ lineal, l'**aplicació dual** $f^*: W^* \to V^*$ es defineix per: $$f^*(\psi) = \psi \circ f$$

Per a $\psi \in W^*$ i $v \in V$: $f^*(\psi)(v) = \psi(f(v))$.

**Propietats:** 1. $(g \circ f)^* = f^* \circ g^*$ (inverteix l'ordre) 2. $(\text{id}_V)^* = \text{id}_{V^*}$ 3. Si $M$ és la matriu de $f$, la matriu de $f^*$ és $M^T$ (transposada)

## 12. Teoremes Fonamentals sobre el Dual

**Teorema:** Sigui $f: V \to W$ lineal. Llavors: 1. $\ker(f^*) = (\text{Im} f)^\circ$ (aniquilador de la imatge) 2. $\text{Im}(f^*) = (\ker f)^\circ$ (aniquilador del nucli) 3. $\text{rang}(f) = \text{rang}(f^*)$

On l'**aniquilador** d'un subespai $W \subseteq V$ és: $$W^\circ = \{\varphi \in V^* : \varphi(w) = 0 \text{ per a tot } w \in W\}$$

## 13. Aplicacions

### 13.1 Mecànica i física

En mecànica analítica, les coordenades generalitzades viuen a $V$ i els moments conjugats al dual $V^*$.

### 13.2 Formes diferencials

Les 1-formes diferencials en una varietat són seccions del fibrat cotangent (dual del fibrat tangent).

### 13.3 Funcionals en anàlisi

En espais de Banach, el dual és fonamental per a teoremes com Hahn-Banach.

## 14. Conclusions

Les aplicacions lineals i l'espai dual constitueixen eines fonamentals de l'àlgebra lineal. El teorema de la dimensió relaciona nucli i imatge, i la dualitat permet veure cada espai des d'una perspectiva complementària. En dimensió finita, V i V* són isomorfs, però V i V** ho són de manera canònica.