T46. Distribucions discretes de probabilitat

Desarrollo del tema

# DISTRIBUCIONS DISCRETES DE PROBABILITAT

## 1. Introducció

La probabilitat proporciona un llenguatge matemàtic per modelitzar fenòmens aleatoris. Una **variable aleatòria discreta** és aquella que pren un nombre finit o numerable de valors. Les distribucions discretes són essencials en estadística, teoria de la informació, fiabilitat, control de qualitat i models de comptatge.

En aquest tema definirem les variables aleatòries discretes, les seves funcions característiques (funció de probabilitat, funció de distribució), els moments (esperança, variància) i estudiarem les distribucions discretes més importants: Bernoulli, binomial, geomètrica, binomial negativa i Poisson.

## 2. Variable aleatòria discreta

### 2.1 Definició

Una variable aleatòria $X$ és **discreta** si el seu conjunt de valors possibles $\{x_i\}$ és finit o numerable i existeix una funció $p(x)$ tal que: $$p(x_i)=\mathbb{P}(X=x_i),\qquad p(x_i)\ge 0,\qquad \sum_i p(x_i)=1$$

$p$ s’anomena **funció de probabilitat** (pmf).

### 2.2 Funció de distribució

$$F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\sum_{x_i\le x} p(x_i)$$

És una funció no decreixent, contínua per la dreta, amb salts en els punts $x_i$.

### 2.3 Esperança i variància

**Esperança (mitjana):** $$\mathbb{E}[X]=\sum_i x_i p(x_i)$$

**Moment d’ordre 2:** $$\mathbb{E}[X^2]=\sum_i x_i^2 p(x_i)$$

**Variància:** $$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2$$

**Propietats:** - Linealitat: $\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b$ - $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$

### 2.4 Variable indicadora

Per un esdeveniment $A$, definim $\mathbf{1}_A$: $$\mathbf{1}_A=\begin{cases}1 & \text{si }A\text{ ocorre}\\0&\text{altrament}\end{cases}$$

Aleshores $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A]=\mathbb{P}(A)$. És una eina molt potent per calcular esperances.

## 3. Distribució de Bernoulli

### 3.1 Definició

$X\sim \mathrm{Bern}(p)$ si $X\in\{0,1\}$ i: $$\mathbb{P}(X=1)=p,\qquad \mathbb{P}(X=0)=1-p$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=p,\qquad \mathrm{Var}(X)=p(1-p)$$

**Aplicació:** èxit/fracàs, defectuós/no defectuós.

## 4. Distribució Binomial

### 4.1 Model

$X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$ representa el nombre d’èxits en $n$ assaigs de Bernoulli independents amb probabilitat d’èxit $p$.

$$\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\ldots,n$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p)$$

### 4.2 Aproximacions

- **Normal:** si $n$ és gran i $np(1-p)$ és prou gran: $$X\approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$$ sovint amb correcció de continuïtat.

- **Poisson:** si $n$ és gran i $p$ petit, amb $\lambda=np$ constant: $$\mathrm{Bin}(n,p) \approx \mathrm{Pois}(\lambda)$$

## 5. Distribució Geomètrica

### 5.1 Definició

Hi ha dues convencions. Usarem la que compta el nombre d’assaigs fins al primer èxit (incloent l’èxit): $$X\sim \mathrm{Geom}(p),\quad \mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\ldots$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

### 5.2 Propietat de falta de memòria

$$\mathbb{P}(X>m+n\mid X>m)=\mathbb{P}(X>n)$$

La geomètrica és l’única distribució discreta amb aquesta propietat.

## 6. Binomial negativa (Pascal)

### 6.1 Definició

$X\sim \mathrm{NB}(r,p)$ si $X$ és el nombre d’assaigs necessaris per obtenir $r$ èxits (incloent l’últim èxit): $$\mathbb{P}(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\quad k=r,r+1,\ldots$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=\frac{r}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$$

### 6.2 Cas particular

Per $r=1$ recuperem la geomètrica.

## 7. Distribució de Poisson

### 7.1 Definició

$X\sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ amb $\lambda>0$: $$\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$

**Esperança i variància:** $$\mathbb{E}[X]=\lambda,\qquad \mathrm{Var}(X)=\lambda$$

### 7.2 Interpretació i model de comptatge

Modelitza el nombre d’esdeveniments en un interval si: - es produeixen amb taxa mitjana constant $\lambda$ - són independents - la probabilitat de més d’un esdeveniment en un interval petit és negligible

**Exemples:** trucades a una centraleta, desintegracions radioactives, defectes per metre.

### 7.3 Propietats importants

- **Suma:** Si $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)$ i $Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)$ independents: $$X+Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$$

- **Aclareig (thinning):** Si cada esdeveniment es reté amb probabilitat $p$ independentment, el nombre retingut és Poisson($p\lambda$).

## 8. Funcions generatrius

### 8.1 Funció generatriu de probabilitat (pgf)

$$G_X(s)=\mathbb{E}[s^X]=\sum_{k} s^k\mathbb{P}(X=k)$$

És útil per a sumes de variables independents i càlcul de moments: $$\mathbb{E}[X]=G_X'(1),\quad \mathrm{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2$$

### 8.2 Funció generatriu de moments (mgf)

$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$$

Si existeix, caracteritza la distribució en molts casos.

## 9. Distribucions discretes i estadística

En mostres, els models discretes s’utilitzen per: - Comptatges - Freqüències d’èxit - Temps d’espera en assaigs

Seleccionar el model adequat implica interpretar el procés generador de dades.

## 10. Exemples resolts

### Exemple 1 (Binomial)

Un test té probabilitat d’encert $p=0.2$ i es fan $n=10$ preguntes independents. Probabilitat d’encertar exactament 3: $$\mathbb{P}(X=3)=\binom{10}{3}0.2^3 0.8^7$$

### Exemple 2 (Poisson)

Arriben de mitjana 2 correus per hora. Probabilitat de rebre 0 correus en 1 hora: $$\mathbb{P}(X=0)=e^{-2}$$

### Exemple 3 (Geomètrica)

Probabilitat d’èxit $p=0.1$. Esperança de l’assaig del primer èxit: $1/p=10$.

## 11. Didàctica

- Introduir distribucions amb experiments (monedes, daus, recompte de successos) - Visualitzar pmf i cdf amb taules i gràfiques - Ensenyar l’ús de l’esperança com a “valor mitjà a llarg termini” - Connectar Poisson amb comptatges reals i amb l’aproximació binomial

## 12. Conclusions

Les distribucions discretes proporcionen models essencials per a variables de comptatge i d’èxit/fracàs. Bernoulli i binomial modelitzen assaigs independents, geomètrica i binomial negativa modelitzen temps fins a èxits, i Poisson modelitza comptatges en intervals. El càlcul d’esperança i variància i les aproximacions (normal i Poisson) són eines fonamentals per a l’aplicació estadística.