📋 RESUM: Distribucions discretes
**Variable aleatòria discreta:** pren valors numerables {x_i} amb pmf p(x_i)=P(X=x_i), ∑p=1. CDF: F(x)=P(X≤x).
**Moments:** E[X]=∑x p(x), Var(X)=E[X²]−(E[X])². Linealitat: E[aX+b]=aE[X]+b; Var(aX+b)=a²Var(X).
**Bernoulli(p):** X∈{0,1}, P(1)=p. E=p, Var=p(1−p).
**Binomial(n,p):** nombre d’èxits en n Bernoulli independents.
P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}. E=np, Var=np(1−p).
Aproximacions: Normal si np(1−p) gran; Poisson si n gran, p petit, λ=np.
**Geomètrica(p):** assaigs fins al 1r èxit. P(X=k)=(1−p)^{k−1}p.
E=1/p, Var=(1−p)/p². Propietat de falta de memòria.
**Binomial negativa(r,p):** assaigs fins a r èxits. E=r/p, Var=r(1−p)/p².
**Poisson(λ):** comptatges amb taxa mitjana λ.
P(X=k)=e^{−λ}λ^k/k!. E=Var=λ. Suma de Poisson i thinning.
Desarrollo del tema
# DISTRIBUCIONS DISCRETES DE PROBABILITAT
## 1. Introducció
La probabilitat proporciona un llenguatge matemàtic per modelitzar fenòmens aleatoris. Una **variable aleatòria discreta** és aquella que pren un nombre finit o numerable de valors. Les distribucions discretes són essencials en estadística, teoria de la informació, fiabilitat, control de qualitat i models de comptatge.
En aquest tema definirem les variables aleatòries discretes, les seves funcions característiques (funció de probabilitat, funció de distribució), els moments (esperança, variància) i estudiarem les distribucions discretes més importants: Bernoulli, binomial, geomètrica, binomial negativa i Poisson.
## 2. Variable aleatòria discreta
### 2.1 Definició
Una variable aleatòria $X$ és **discreta** si el seu conjunt de valors possibles $\{x_i\}$ és finit o numerable i existeix una funció $p(x)$ tal que:
$$p(x_i)=\mathbb{P}(X=x_i),\qquad p(x_i)\ge 0,\qquad \sum_i p(x_i)=1$$
**Esperança i variància:**
$$\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p)$$
### 4.2 Aproximacions
- **Normal:** si $n$ és gran i $np(1-p)$ és prou gran:
$$X\approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$$
sovint amb correcció de continuïtat.
- **Poisson:** si $n$ és gran i $p$ petit, amb $\lambda=np$ constant:
$$\mathrm{Bin}(n,p) \approx \mathrm{Pois}(\lambda)$$
## 5. Distribució Geomètrica
### 5.1 Definició
Hi ha dues convencions. Usarem la que compta el nombre d’assaigs fins al primer èxit (incloent l’èxit):
$$X\sim \mathrm{Geom}(p),\quad \mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\ldots$$
**Esperança i variància:**
$$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$$
### 5.2 Propietat de falta de memòria
$$\mathbb{P}(X>m+n\mid X>m)=\mathbb{P}(X>n)$$
La geomètrica és l’única distribució discreta amb aquesta propietat.
## 6. Binomial negativa (Pascal)
### 6.1 Definició
$X\sim \mathrm{NB}(r,p)$ si $X$ és el nombre d’assaigs necessaris per obtenir $r$ èxits (incloent l’últim èxit):
$$\mathbb{P}(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\quad k=r,r+1,\ldots$$
**Esperança i variància:**
$$\mathbb{E}[X]=\frac{r}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$$
### 6.2 Cas particular
Per $r=1$ recuperem la geomètrica.
## 7. Distribució de Poisson
### 7.1 Definició
$X\sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ amb $\lambda>0$:
$$\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$
**Esperança i variància:**
$$\mathbb{E}[X]=\lambda,\qquad \mathrm{Var}(X)=\lambda$$
### 7.2 Interpretació i model de comptatge
Modelitza el nombre d’esdeveniments en un interval si:
- es produeixen amb taxa mitjana constant $\lambda$
- són independents
- la probabilitat de més d’un esdeveniment en un interval petit és negligible
**Exemples:** trucades a una centraleta, desintegracions radioactives, defectes per metre.
### 7.3 Propietats importants
- **Suma:** Si $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)$ i $Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)$ independents:
$$X+Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$$
- **Aclareig (thinning):** Si cada esdeveniment es reté amb probabilitat $p$ independentment, el nombre retingut és Poisson($p\lambda$).
És útil per a sumes de variables independents i càlcul de moments:
$$\mathbb{E}[X]=G_X'(1),\quad \mathrm{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2$$
### 8.2 Funció generatriu de moments (mgf)
$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$$
Si existeix, caracteritza la distribució en molts casos.
## 9. Distribucions discretes i estadística
En mostres, els models discretes s’utilitzen per:
- Comptatges
- Freqüències d’èxit
- Temps d’espera en assaigs
Seleccionar el model adequat implica interpretar el procés generador de dades.
## 10. Exemples resolts
### Exemple 1 (Binomial)
Un test té probabilitat d’encert $p=0.2$ i es fan $n=10$ preguntes independents. Probabilitat d’encertar exactament 3:
$$\mathbb{P}(X=3)=\binom{10}{3}0.2^3 0.8^7$$
### Exemple 2 (Poisson)
Arriben de mitjana 2 correus per hora. Probabilitat de rebre 0 correus en 1 hora:
$$\mathbb{P}(X=0)=e^{-2}$$
### Exemple 3 (Geomètrica)
Probabilitat d’èxit $p=0.1$. Esperança de l’assaig del primer èxit: $1/p=10$.
## 11. Didàctica
- Introduir distribucions amb experiments (monedes, daus, recompte de successos)
- Visualitzar pmf i cdf amb taules i gràfiques
- Ensenyar l’ús de l’esperança com a “valor mitjà a llarg termini”
- Connectar Poisson amb comptatges reals i amb l’aproximació binomial
## 12. Conclusions
Les distribucions discretes proporcionen models essencials per a variables de comptatge i d’èxit/fracàs. Bernoulli i binomial modelitzen assaigs independents, geomètrica i binomial negativa modelitzen temps fins a èxits, i Poisson modelitza comptatges en intervals. El càlcul d’esperança i variància i les aproximacions (normal i Poisson) són eines fonamentals per a l’aplicació estadística.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
