T10. Anells i Cossos. Construcció dels Nombres Reals i Complexos

Desarrollo del tema

# Anells i Cossos. Construcció dels Nombres Reals i Complexos

## Introducció

L'estudi de les matemàtiques es pot entendre com una contínua expansió dels nostres universos numèrics. Partint dels nombres naturals ($\mathbb{N}$), les limitacions ens porten als enters ($\mathbb{Z}$), la divisió ens força als racionals ($\mathbb{Q}$), equacions com $x^2 = 2$ exigeixen els reals ($\mathbb{R}$), i $x^2 = -1$ ens obre les portes als complexos ($\mathbb{C}$).

Aquest viatge es fonamenta en les estructures algebraiques d'**anell** i **cos**, que formalitzen les propietats de les operacions aritmètiques.

## 1. Estructura d'Anell

### 1.1. Definició i Axiomes

Un **anell** és un conjunt no buit $A$ amb dues operacions (suma i producte) tal que:

$$(A, +, \cdot)$$

**Propietats de la suma** — $(A, +)$ és un grup abelià: - **Associativa:** $(a+b)+c = a+(b+c)$ - **Commutativa:** $a+b = b+a$ - **Element neutre:** $\exists 0: a+0 = a$ - **Element oposat:** $\exists (-a): a+(-a) = 0$

**Propietats del producte** — $(A, \cdot)$ és un semigrup: - **Associativa:** $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

**Distributivitat:** - $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ - $(b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

### 1.2. Tipus d'Anells

- **Anell commutatiu:** Si $a \cdot b = b \cdot a$ - **Anell unitari:** Si existeix $1$ tal que $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ - **Domini d'integritat:** Commutatiu, unitari i sense divisors de zero ($ab = 0 \Rightarrow a=0$ o $b=0$)

### 1.3. Exemples d'Anells

- $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ — Anell commutatiu, unitari, domini d'integritat - $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ — Enters mòdul $n$. Domini d'integritat si $n$ és primer - $(A[x], +, \cdot)$ — Polinomis amb coeficients en l'anell $A$ - $(M_n(\mathbb{R}), +, \cdot)$ — Matrius $n \times n$. Unitari però NO commutatiu ($n \ge 2$)

## 2. Estructura de Cos

### 2.1. Definició i Axiomes

Un **cos** és un anell commutatiu i unitari $(K, +, \cdot)$ on tot element no nul té invers multiplicatiu:

$$(K, +, \cdot)$$

- $(K, +)$ és un grup abelià - $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ és un grup abelià: - Associativa, commutativa - Element neutre: $1$ - **Invers:** $\forall a \ne 0, \exists a^{-1}: a \cdot a^{-1} = 1$ - Distributivitat

**Propietat important:** Tot cos és un domini d'integritat.

### 2.2. Exemples de Cossos

- $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ — Els racionals - $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ — Els reals - $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ — Els complexos - $(\mathbb{Z}_p, +, \cdot)$ — Cos si i només si $p$ és primer - $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ — **NO és cos** ($2$ no té invers a $\mathbb{Z}$)

## 3. Construcció de $\mathbb{Z}$ a partir de $\mathbb{N}$

**Motivació:** Resoldre $x + a = b$ quan $a > b$.

### Construcció per Classes d'Equivalència

1. **Conjunt base:** $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$, on $(a,b)$ representa $a - b$

2. **Relació d'equivalència:** $$(a, b) \sim (c, d) \iff a + d = b + c$$

3. **Definició:** $$\mathbb{Z} := (\mathbb{N} \times \mathbb{N}) / \sim$$

4. **Operacions:** $$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a+c, b+d)]$$ $$[(a, b)] \cdot [(c, d)] = [(ac+bd, ad+bc)]$$

**Exemple:** La classe de $-3$ és $[(0,3)] = \{(0,3), (1,4), (2,5), \ldots\}$

## 4. Construcció de $\mathbb{Q}$ a partir de $\mathbb{Z}$

**Motivació:** Resoldre $ax = b$ quan $b$ no és múltiple de $a$.

### Construcció per Classes d'Equivalència

1. **Conjunt base:** $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})$, on $(a,b)$ representa $\frac{a}{b}$

2. **Relació d'equivalència:** $$(a, b) \sim (c, d) \iff a \cdot d = b \cdot c$$

3. **Definició:** $$\mathbb{Q} := (\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})) / \sim$$

4. **Operacions:** $$[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad+bc, bd)]$$ $$[(a, b)] \cdot [(c, d)] = [(ac, bd)]$$

**Estructura:** $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ és un **cos**. L'invers de $[(a,b)]$ és $[(b,a)]$.

## 5. Construcció de $\mathbb{R}$ a partir de $\mathbb{Q}$: Talls de Dedekind

**Motivació:** $\mathbb{Q}$ té "forats" ($\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$). No és complet.

### Definició de Tall de Dedekind

Un **tall de Dedekind** és una partició $(A, B)$ de $\mathbb{Q}$ tal que: - $A \cup B = \mathbb{Q}$, $A \cap B = \emptyset$ - $\forall a \in A, \forall b \in B: a < b$ - $A$ no té element màxim

### Construcció

$$\mathbb{R} := \{\text{tots els talls de Dedekind a } \mathbb{Q}\}$$

**Nombres racionals:** Si $B$ té mínim $q$, el tall representa $q \in \mathbb{Q}$.

**Nombres irracionals:** Si $B$ no té mínim, representa un irracional. Per $\sqrt{2}$: $$A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 0 \text{ o } x^2 < 2\}$$ $$B = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ i } x^2 > 2\}$$

**Resultat:** $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ és un **cos ordenat i complet**.

### Alternativa: Successions de Cauchy

$\mathbb{R}$ es defineix com classes d'equivalència de successions de Cauchy de racionals, on dues successions són equivalents si la seva diferència tendeix a zero.

## 6. Construcció de $\mathbb{C}$ a partir de $\mathbb{R}$

**Motivació:** $x^2 + 1 = 0$ no té solució a $\mathbb{R}$.

### Construcció Directa

1. **Conjunt base:** $\mathbb{R}^2$, on $(a,b)$ representa $a + bi$

2. **Operacions:** $$(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$$ $$(a, b) \cdot (c, d) = (ac-bd, ad+bc)$$

3. **Definició:** $$\mathbb{C} := (\mathbb{R}^2, +, \cdot)$$

### Estructura de Cos

- Element neutre suma: $(0,0)$ - Element neutre producte: $(1,0)$ - **Invers multiplicatiu:** $$(a,b)^{-1} = \left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)$$

### La Unitat Imaginària

Definim $i := (0,1)$. Aleshores: $$i^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (-1, 0) = -1$$

**Notació binòmica:** $(a,b) = a + bi$

## 7. Isomorfismes i Immersions

Cada construcció crea un sistema que "conté" l'anterior via **immersions** (homomorfismes injectius):

| De | A | Immersió | |:--:|:--:|:---------| | $\mathbb{N}$ | $\mathbb{Z}$ | $n \mapsto [(n,0)]$ | | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Q}$ | $z \mapsto [(z,1)]$ | | $\mathbb{Q}$ | $\mathbb{R}$ | $q \mapsto$ tall de Dedekind | | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{C}$ | $x \mapsto (x,0)$ |

### Jerarquia Final

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

- $\mathbb{Z}$ és un **anell** - $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ són **cossos** - $\mathbb{C}$ és **algebraicament tancat** (Teorema Fonamental de l'Àlgebra)

## Conclusió

Hem construït l'edifici dels sistemes numèrics mitjançant el mètode axiomàtic: definint estructures (anell, cos) i usant construccions formals (classes d'equivalència, talls de Dedekind). El resultat és $\mathbb{C}$, un cos algebraicament tancat on tot polinomi no constant té arrel.