T14. Determinants. Propietats i aplicacions

Desarrollo del tema

# DETERMINANTS. PROPIETATS I APLICACIONS

## 1. Introducció

El **determinant** és una funció que assigna un escalar a cada matriu quadrada, codificant informació essencial sobre invertibilitat, volum i orientació. Va ser introduït per **Leibniz** (1693) i sistematitzat per **Cramer**, **Vandermonde** i especialment **Cauchy** al segle XIX.

## 2. Definició Axiomàtica

El **determinant** és l'única funció $\det: \mathcal{M}_n(K) \to K$ que satisfà:

**(D1) Multilinealitat per files:** $\det$ és lineal en cada fila quan les altres es mantenen fixes: $$\det\begin{pmatrix} \vdots \\ \lambda F_i + \mu F'_i \\ \vdots \end{pmatrix} = \lambda \det\begin{pmatrix} \vdots \\ F_i \\ \vdots \end{pmatrix} + \mu \det\begin{pmatrix} \vdots \\ F'_i \\ \vdots \end{pmatrix}$$

**(D2) Alternada:** Si dues files són iguals, el determinant és zero.

**(D3) Normalització:** $\det(I_n) = 1$

De (D1) i (D2) es dedueix que intercanviar dues files canvia el signe del determinant.

## 3. Definició per Permutacions

Per a $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$:

$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$

on: - $S_n$ és el grup de permutacions de $\{1, 2, \ldots, n\}$ ($n!$ elements) - $\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}$ és la **signatura** (inversions de $\sigma$)

### Casos particulars

**Ordre 2:** $$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

**Ordre 3 (regla de Sarrus):** $$\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

## 4. Propietats Fonamentals

### Efecte de les operacions elementals

1. **Intercanvi de files:** $\det(A') = -\det(A)$ 2. **Multiplicar fila per $\lambda$:** $\det(A') = \lambda \det(A)$ 3. **Sumar múltiple d'una fila a una altra:** $\det(A') = \det(A)$

### Propietats generals

**P1. Transposada:** $\det(A^T) = \det(A)$

**P2. Producte:** $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$

**P3. Inversa:** $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ (si $A$ és invertible)

**P4. Escalar:** $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ (per $A \in \mathcal{M}_n$)

**P5. Matriu triangular:** $\det(A) = \prod_{i=1}^n a_{ii}$ (producte dels elements diagonals)

**P6.** $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ és invertible

## 5. Càlcul de Determinants

### 5.1 Mètode d'escalonament (Gauss)

Reduir a forma triangular usant operacions elementals, comptant els canvis de signe.

**Exemple:** Calcular $\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Escalonem: - $F_2 \to F_2 - 2F_1$: $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $F_3 \to 2F_3 - F_1$: $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ (multipliquem $F_3$ per 2, factor 2) - ...fins triangular, multiplicar diagonal i dividir pels factors introduïts.

### 5.2 Desenvolupament per adjunts (Laplace)

**Menor $M_{ij}$:** Determinant de la submatriu $(n-1) \times (n-1)$ obtinguda eliminant fila $i$ i columna $j$.

**Adjunt (cofactor):** $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

**Desenvolupament per la fila $i$:** $$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$$

**Desenvolupament per la columna $j$:** $$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$$

**Estratègia:** Escollir la fila o columna amb més zeros.

## 6. Matriu Adjunta (de Cofactors)

La **matriu adjunta** (o matriu de cofactors transposada) de $A$ és: $$\text{adj}(A) = (A_{ji})_{i,j} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$

**Propietat fonamental:** $$A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n$$

**Fórmula de la inversa:** $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$$

## 7. Aplicacions dels Determinants

### 7.1 Regla de Cramer

Per al sistema $Ax = b$ amb $A$ invertible ($\det(A) \neq 0$): $$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$$

on $A_j$ és la matriu $A$ amb la columna $j$ substituïda per $b$.

**Exemple:** Sistema $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{-6}{-3} = 2$, $y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$

### 7.2 Càlcul del rang

$\text{rang}(A) = r$ si i només si: - Existeix un menor $r \times r$ amb determinant no nul - Tots els menors de mida $(r+1) \times (r+1)$ tenen determinant zero

### 7.3 Àrea i volum

**Àrea del paral·lelogram** en $\mathbb{R}^2$ determinat per vectors $\vec{u} = (u_1, u_2)$ i $\vec{v} = (v_1, v_2)$: $$\text{Àrea} = \left| \det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} \right| = |u_1 v_2 - u_2 v_1|$$

**Volum del paral·lelepípede** en $\mathbb{R}^3$: $$\text{Volum} = |\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|$$

### 7.4 Producte vectorial

En $\mathbb{R}^3$, el **producte vectorial** es calcula simbòlicament: $$\vec{u} \times \vec{v} = \det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$$

### 7.5 Equació del pla

El pla que passa per $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ i conté els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$: $$\det\begin{pmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = 0$$

## 8. Determinants Especials

### 8.1 Determinant de Vandermonde

$$V_n = \det\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$

**Aplicació:** $V_n \neq 0$ si i només si els $x_i$ són tots diferents (interpolació polinòmica).

### 8.2 Determinant de matriu per blocs

Si $A$ és quadrada i $M = \begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix}$: $$\det(M) = \det(A) \cdot \det(D)$$

(O és matriu de zeros; D quadrada)

### 8.3 Determinant circulant

Matriu circulant amb primera fila $(c_0, c_1, \ldots, c_{n-1})$: $$\det(C) = \prod_{j=0}^{n-1} \left( \sum_{k=0}^{n-1} c_k \omega^{jk} \right)$$ on $\omega = e^{2\pi i/n}$ és una arrel $n$-èsima primitiva de la unitat.

## 9. Relació amb Autovalors

Si $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ són els autovalors de $A$ (comptant multiplicitat): $$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$$

Això connecta determinants amb teoria espectral.

## 10. Interpretació Geomètrica

Per a una aplicació lineal $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ amb matriu $A$:

- $|\det(A)|$ = factor d'escala del volum (àrea en 2D) - $\text{sgn}(\det(A))$ = conservació (+) o inversió (-) de l'orientació

**Exemple:** $\det(R_\theta) = 1$ (rotació preserva àrea i orientació), $\det(S) = -1$ per a reflexió (inverteix orientació).

## 11. Aplicacions Didàctiques

### 11.1 Batxillerat

- **Regla de Sarrus:** Mnemotècnica visual per a determinants 3×3 - **Cramer:** Resolució de sistemes 2×2 i 3×3 - **Geometria:** Àrea de triangles, colinealitat de punts

### 11.2 Universitat

- **Definició formal:** Permutacions i signatura - **Propietats abstractes:** Multilinealitat, caràcter alternat - **Connexions:** Autovalors, formes diferencials (jacobià)

## 12. Conclusions

El determinant és un invariant escalar fonamental de les matrius quadrades. Caracteritza la invertibilitat, mesura volums i orientacions, i connecta àlgebra lineal amb geometria. Els mètodes de càlcul (escalonament, Laplace) permeten abordar determinants de qualsevol ordre.