Els nombres complexos sorgeixen de la necessitat de resoldre equacions que no tenen solució als reals, com $x^2 + 1 = 0$. Més enllà de l'àlgebra, tenen aplicacions fonamentals en geometria, física, enginyeria elèctrica i processament de senyals.
## 1. Definició i Formes de Representació
### 1.1. Forma Binòmica (Cartesiana)
Un **nombre complex** és una expressió de la forma:
$$z = a + bi$$
on:
- $a \in \mathbb{R}$ és la **part real**: $\text{Re}(z) = a$
- $b \in \mathbb{R}$ és la **part imaginària**: $\text{Im}(z) = b$
- $i$ és la **unitat imaginària** amb la propietat $i^2 = -1$
El conjunt de tots els nombres complexos és $\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}$.
**Representació geomètrica:** Cada complex $z = a + bi$ es representa com un punt $(a, b)$ del pla cartesià (pla d'Argand o pla complex).
L'arrel primitiva és $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$ i les altres són $\omega^k$.
**Propietats:**
- Les arrels formen un polígon regular de $n$ costats inscrit a la circumferència unitat
- Suma de totes les arrels: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$
- Producte: $\prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n+1}$
Sumar un complex $c = a + bi$ representa una translació del vector $(a, b)$:
$$T_c(z) = z + c$$
### 4.2. Rotació
Multiplicar per $e^{i\alpha}$ representa una rotació d'angle $\alpha$ al voltant de l'origen:
$$R_\alpha(z) = e^{i\alpha} \cdot z$$
**Demostració:** Si $z = re^{i\theta}$, aleshores:
$$e^{i\alpha} \cdot z = re^{i(\theta + \alpha)}$$
El mòdul es conserva, l'argument augmenta en $\alpha$.
### 4.3. Homotècia (Dilatació)
Multiplicar per un real $k > 0$ representa una homotècia de raó $k$:
$$H_k(z) = k \cdot z$$
### 4.4. Rotació + Homotècia
Multiplicar per un complex $w = re^{i\alpha}$ combina ambdues:
- Dilatació de factor $r$
- Rotació d'angle $\alpha$
### 4.5. Simetria respecte l'Eix Real
La conjugació $z \mapsto \bar{z}$ és una reflexió respecte l'eix real.
### 4.6. Inversió
La transformació $z \mapsto \frac{1}{z}$ combina:
- Inversió respecte la circumferència unitat: $|z| \mapsto \frac{1}{|z|}$
- Reflexió respecte l'eix real
## 5. Aplicacions
### 5.1. Resolució d'Equacions Polinòmiques
**Teorema Fonamental de l'Àlgebra:** Tot polinomi de grau $n$ amb coeficients complexos té exactament $n$ arrels a $\mathbb{C}$ (comptades amb multiplicitat).
El polinomi ciclotòmic $\Phi_n(x)$ té com a arrels les arrels primitives n-èsimes de la unitat:
$$x^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x)$$
### 5.4. Aplicacions en Física i Enginyeria
- **Circuits elèctrics:** Impedància complexa
- **Mecànica quàntica:** Funció d'ona
- **Processament de senyals:** Transformada de Fourier
- **Fluids i aerodinàmica:** Potencial complex
## 6. Funcions Complexes Elementals
### Funció Exponencial
$$e^z = e^{a+bi} = e^a(\cos b + i\sin b)$$
### Logaritme Complex
$$\log z = \ln|z| + i(\arg(z) + 2\pi k)$$
És multivaluat (infinites branques).
### Funcions Trigonomètriques
$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
