T8. Nombres complexos. Aplicacions geomètriques

Desarrollo del tema

# Nombres Complexos. Aplicacions Geomètriques

## Introducció

Els nombres complexos sorgeixen de la necessitat de resoldre equacions que no tenen solució als reals, com $x^2 + 1 = 0$. Més enllà de l'àlgebra, tenen aplicacions fonamentals en geometria, física, enginyeria elèctrica i processament de senyals.

## 1. Definició i Formes de Representació

### 1.1. Forma Binòmica (Cartesiana)

Un **nombre complex** és una expressió de la forma:

$$z = a + bi$$

on: - $a \in \mathbb{R}$ és la **part real**: $\text{Re}(z) = a$ - $b \in \mathbb{R}$ és la **part imaginària**: $\text{Im}(z) = b$ - $i$ és la **unitat imaginària** amb la propietat $i^2 = -1$

El conjunt de tots els nombres complexos és $\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}$.

**Representació geomètrica:** Cada complex $z = a + bi$ es representa com un punt $(a, b)$ del pla cartesià (pla d'Argand o pla complex).

### 1.2. Mòdul i Argument

- **Mòdul:** La distància de $z$ a l'origen: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

- **Argument:** L'angle que forma $z$ amb l'eix real positiu: $$\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

L'argument principal es pren a $(-\pi, \pi]$ o $[0, 2\pi)$.

### 1.3. Forma Polar

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r \cdot \text{cis}(\theta)$$

on $r = |z|$ i $\theta = \arg(z)$.

**Conversió cartesiana → polar:** $$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

**Conversió polar → cartesiana:** $$a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$$

### 1.4. Forma Exponencial (Fórmula d'Euler)

La **fórmula d'Euler** estableix:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

Així, tot complex s'escriu com:

$$z = re^{i\theta}$$

**Conseqüència notable:** Per $\theta = \pi$: $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

La identitat d'Euler, considerada la fórmula més bella de les matemàtiques.

## 2. Operacions amb Nombres Complexos

### 2.1. Conjugat

El **conjugat** de $z = a + bi$ és: $$\bar{z} = a - bi$$

**Propietats:** - $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ - $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$ - $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$ - $\text{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}$, $\text{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}$

### 2.2. Suma i Resta

En forma binòmica: $$(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$$

**Geomètricament:** Suma vectorial (regla del paral·lelogram).

### 2.3. Producte

**Forma binòmica:** $$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

**Forma polar (més elegant):** $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot \text{cis}(\theta_1 + \theta_2)$$

Els mòduls es multipliquen i els arguments se sumen.

**Forma exponencial:** $$z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

### 2.4. Divisió

**Forma binòmica (racionalització):** $$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

**Forma polar:** $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \text{cis}(\theta_1 - \theta_2)$$

### 2.5. Potències (Fórmula de De Moivre)

Per a qualsevol enter $n$:

$$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r^n e^{in\theta}$$

**Fórmula de De Moivre:** $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

**Aplicació:** Calcular potències de complexos és molt més fàcil en forma polar.

**Exemple:** Calcular $(1 + i)^8$ - Forma polar: $1 + i = \sqrt{2} \cdot \text{cis}(\pi/4)$ - $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot \text{cis}(8 \cdot \pi/4) = 16 \cdot \text{cis}(2\pi) = 16$

## 3. Arrels de Nombres Complexos

### 3.1. Arrels n-èsimes

Les **arrels n-èsimes** de $z = re^{i\theta}$ són:

$$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$

Hi ha exactament $n$ arrels n-èsimes, equidistants sobre una circumferència de radi $\sqrt[n]{r}$.

### 3.2. Arrels n-èsimes de la Unitat

Les arrels n-èsimes de $1$ són:

$$\omega_k = e^{i\frac{2\pi k}{n}} = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$

L'arrel primitiva és $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$ i les altres són $\omega^k$.

**Propietats:** - Les arrels formen un polígon regular de $n$ costats inscrit a la circumferència unitat - Suma de totes les arrels: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$ - Producte: $\prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n+1}$

**Exemple:** Arrels cúbiques de 1 ($n = 3$): $$\omega_0 = 1, \quad \omega_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad \omega_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

Formen un triangle equilàter.

## 4. Interpretació Geomètrica

### 4.1. Translació

Sumar un complex $c = a + bi$ representa una translació del vector $(a, b)$: $$T_c(z) = z + c$$

### 4.2. Rotació

Multiplicar per $e^{i\alpha}$ representa una rotació d'angle $\alpha$ al voltant de l'origen: $$R_\alpha(z) = e^{i\alpha} \cdot z$$

**Demostració:** Si $z = re^{i\theta}$, aleshores: $$e^{i\alpha} \cdot z = re^{i(\theta + \alpha)}$$ El mòdul es conserva, l'argument augmenta en $\alpha$.

### 4.3. Homotècia (Dilatació)

Multiplicar per un real $k > 0$ representa una homotècia de raó $k$: $$H_k(z) = k \cdot z$$

### 4.4. Rotació + Homotècia

Multiplicar per un complex $w = re^{i\alpha}$ combina ambdues: - Dilatació de factor $r$ - Rotació d'angle $\alpha$

### 4.5. Simetria respecte l'Eix Real

La conjugació $z \mapsto \bar{z}$ és una reflexió respecte l'eix real.

### 4.6. Inversió

La transformació $z \mapsto \frac{1}{z}$ combina: - Inversió respecte la circumferència unitat: $|z| \mapsto \frac{1}{|z|}$ - Reflexió respecte l'eix real

## 5. Aplicacions

### 5.1. Resolució d'Equacions Polinòmiques

**Teorema Fonamental de l'Àlgebra:** Tot polinomi de grau $n$ amb coeficients complexos té exactament $n$ arrels a $\mathbb{C}$ (comptades amb multiplicitat).

**Exemple:** Resoldre $z^3 = 8$ $$z = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i\frac{2\pi k}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$$ $$z_0 = 2, \quad z_1 = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} = -1 + \sqrt{3}i, \quad z_2 = 2e^{i\frac{4\pi}{3}} = -1 - \sqrt{3}i$$

### 5.2. Identitats Trigonomètriques

De Moivre permet deduir identitats. Per $n = 2$: $$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos 2\theta + i\sin 2\theta$$

Expandint: $$\cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta = \cos 2\theta + i\sin 2\theta$$

Igualant parts: $$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$ $$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

### 5.3. Polinomis Ciclotòmics

El polinomi ciclotòmic $\Phi_n(x)$ té com a arrels les arrels primitives n-èsimes de la unitat: $$x^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x)$$

### 5.4. Aplicacions en Física i Enginyeria

- **Circuits elèctrics:** Impedància complexa - **Mecànica quàntica:** Funció d'ona - **Processament de senyals:** Transformada de Fourier - **Fluids i aerodinàmica:** Potencial complex

## 6. Funcions Complexes Elementals

### Funció Exponencial

$$e^z = e^{a+bi} = e^a(\cos b + i\sin b)$$

### Logaritme Complex

$$\log z = \ln|z| + i(\arg(z) + 2\pi k)$$

És multivaluat (infinites branques).

### Funcions Trigonomètriques

$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$