📋 RESUM: Nombres racionals
• Construcció: ℚ = (ℤ×ℤ*)/~ amb (a,b)~(c,d) ⟺ ad=bc
• Fracció irreductible: mcd(|a|,|b|)=1 i b>0
• Operacions: a/b + c/d = (ad+bc)/bd; a/b · c/d = ac/bd
• (ℚ,+,·) és un cos commutatiu
• Densitat: entre dos racionals hi ha infinits altres racionals
• Decimals: exactes (denominador 2ᵃ·5ᵇ), periòdics purs/mixtos
• Fracció generatriu: procediment algebraic per a periòdics
Desarrollo del tema
# NOMBRES RACIONALS
## 1. Introducció
En el conjunt dels nombres enters $\mathbb{Z}$, operacions com la suma, la resta i la multiplicació són internes, però la **divisió no sempre és possible**. Per exemple, l'equació $3x = 2$ no té solució a $\mathbb{Z}$. Per resoldre aquest tipus d'equacions de la forma $bx = a$, sorgeix la necessitat d'ampliar el camp numèric. Aquesta ampliació dona lloc al conjunt dels **nombres racionals** $\mathbb{Q}$, que formalitza la idea intuïtiva de "part d'un tot" o "quocient".
## 2. Construcció del Conjunt $\mathbb{Q}$
### 2.1 Construcció formal
Considerem el conjunt $S = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\}) = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$.
Definim una relació d'equivalència $\sim$:
$$(a, b) \sim (c, d) \iff a \cdot d = b \cdot c$$
**Propietats de la relació:**
- **Reflexiva:** $(a, b) \sim (a, b)$ ja que $ab = ba$
- **Simètrica:** Si $(a, b) \sim (c, d)$, aleshores $(c, d) \sim (a, b)$
- **Transitiva:** Si $(a, b) \sim (c, d)$ i $(c, d) \sim (e, f)$, aleshores $(a, b) \sim (e, f)$
Per a fraccions amb denominador positiu $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (amb $b, d > 0$):
$$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \iff a \cdot d \leq b \cdot c$$
L'ordre és **total**: qualssevol dos racionals són comparables.
### 5.2 Propietat de densitat
> Donats dos nombres racionals diferents $q_1$ i $q_2$, **sempre** existeix un altre nombre racional $q_3$ tal que $q_1 < q_3 < q_2$.
**Càlcul:** La mitjana aritmètica $q_3 = \frac{q_1 + q_2}{2}$ sempre compleix $q_1 < q_3 < q_2$.
**Conseqüència:** Entre dos racionals hi ha **infinits** altres racionals. No existeix el "següent" nombre racional.
## 6. Representació Decimal
Tot nombre racional es pot expressar com a nombre decimal efectuant la divisió $a \div b$.
### 6.1 Tipus de representacions decimals
**Decimal exacte (finit):** El residu arriba a ser 0.
- **Condició:** En la fracció irreductible, el denominador només té factors 2 i/o 5.
- **Exemple:** $\frac{3}{40} = 0.075$ ($40 = 2^3 \cdot 5$)
**Decimal periòdic:** El residu es repeteix cíclicament, generant un **període**.
- **Periòdic pur:** El període comença immediatament després de la coma.
- Denominador sense factors 2 ni 5.
- Exemple: $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$
- **Periòdic mixt:** Hi ha un **anteperíode** abans del període.
- Denominador amb factors 2 o 5 i altres factors.
- Exemple: $\frac{5}{12} = 0.41\overline{6}$ ($12 = 2^2 \cdot 3$)
### 6.2 Caracterització
| Tipus decimal | Factors del denominador |
|---------------|------------------------|
| Exacte | Només 2 i/o 5 |
| Periòdic pur | Cap 2 ni 5 |
| Periòdic mixt | 2 i/o 5, més altres |
## 7. Fracció Generatriu
### 7.1 De decimal exacte a fracció
Numerador = nombre sense coma; Denominador = $10^n$ (n = xifres decimals)
$$2.345 = \frac{2345}{1000} = \frac{469}{200}$$
### 7.2 De decimal periòdic pur a fracció
$$\frac{\text{(Part entera + període)} - \text{Part entera}}{\text{Tants 9 com xifres té el període}}$$
$$\frac{\text{(Entera + anteperíode + període)} - \text{(Entera + anteperíode)}}{\text{Tants 9 com xifres del període, seguits de tants 0 com xifres de l'anteperíode}}$$
El conjunt $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ té estructura de **cos commutatiu**:
1. $(\mathbb{Q}, +)$ és un grup abelià
2. $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$ és un grup abelià
3. El producte és distributiu respecte de la suma
**Propietats destacades:**
- $\mathbb{Q}$ és el cos més petit de característica zero
- És el **cos de fraccions** de l'anell $\mathbb{Z}$
- És un subcòs de $\mathbb{R}$ i $\mathbb{C}$
## 9. Aplicacions Didàctiques
### 9.1 Primer cicle d'ESO
- **Contextualització:** Repartir pizzes, receptes, enquestes
- **Models visuals:** Àrees (cercles, rectangles), recta numèrica
- **Fraccions equivalents:** "La mateixa quantitat en trossos diferents"
- **Operacions:** Denominador comú com "parlar el mateix idioma"
### 9.2 Segon cicle d'ESO
- **Connexió fracció-decimal:** Classificar decimals
- **Fracció generatriu:** Procediment algebraic
- **Recta numèrica:** Densitat (trobar nombres entre dos racionals)
- **Aplicacions:** Percentatges, escales, probabilitat
### 9.3 Errors freqüents
- Veure $\frac{a}{b}$ com dos nombres i no un sol
- Error: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$ ❌
- Confondre ordre: creure que $\frac{2}{5} > \frac{1}{2}$ ❌
## 10. Conclusions
Els nombres racionals amplien $\mathbb{Z}$ permetent la divisió. Tot i ser un conjunt dens (entre dos racionals n'hi ha infinits), $\mathbb{Q}$ té "forats": existeixen magnituds (com $\sqrt{2}$ o $\pi$) que no són racionals. Això motiva la construcció de $\mathbb{R}$.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
