📋 RESUM: Espais mètrics
• **Definició:** $(X, d)$ amb $d$ satisfent: no negativitat, $d(x,y)=0 ⟺ x=y$, simetria, desigualtat triangular
• **Exemples:** $(\mathbb{R}^n, d_2)$ euclidià, mètrica del taxista $d_1$, del màxim $d_\infty$, discreta
• **Topologia:** Boles $B(a,r) = \{x : d(x,a) < r\}$. Oberts = unions de boles
• **Convergència:** $x_n \to x ⟺ d(x_n, x) \to 0$
• **Continuïtat:** $\varepsilon-\delta$ o preimatge d'oberts és obert
• **Completesa:** Tota successió de Cauchy convergeix. $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{C}[a,b]$ són complets
• **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. En $\mathbb{R}^n$: compacte ⟺ tancat i fitat
• **Teorema de Banach:** En espai complet, tota contracció té únic punt fix
Desarrollo del tema
# ESPAIS MÈTRICS. PROPIETATS
## 1. Introducció
Els **espais mètrics** generalitzen la noció de distància a contextos abstractes. Permeten definir rigorosament conceptes com convergència, continuïtat, completesa i compacitat sense necessitat de coordenades. Constitueixen el pont entre l'anàlisi clàssic en $\mathbb{R}^n$ i la topologia general.
La noció va ser introduïda per **Maurice Fréchet** el 1906, consolidada per **Felix Hausdorff** i sistematitzada en l'obra de **Stefan Banach**.
## 2. Definició d'Espai Mètric
Un **espai mètric** és un parell $(X, d)$ on $X$ és un conjunt i $d: X \times X \to \mathbb{R}$ és una funció (la **distància** o **mètrica**) que satisfà:
**(M1) No negativitat:** $d(x, y) \geq 0$ per a tot $x, y \in X$
**(M2) Identitat:** $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
Una funció $f: (X, d_X) \to (Y, d_Y)$ és **contínua** en $a \in X$ si:
$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : d_X(x, a) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(a)) < \varepsilon$$
**Caracteritzacions equivalents:**
1. Preimatge d'oberts és obert: $U$ obert en $Y$ ⟹ $f^{-1}(U)$ obert en $X$
2. Per successions: $x_n \to a$ ⟹ $f(x_n) \to f(a)$
### 5.3 Continuïtat uniforme
$f$ és **uniformement contínua** si $\delta$ no depèn del punt:
$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : d_X(x, y) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$$
## 6. Mètriques Equivalents
Dues mètriques $d$ i $d'$ sobre $X$ són **equivalents** si indueixen la mateixa topologia (mateixos oberts).
**Criteris:**
- Tota successió convergent en $(X, d)$ ho és en $(X, d')$ i recíprocament
- Existeixen constants $c, C > 0$ tals que $c \cdot d(x,y) \leq d'(x,y) \leq C \cdot d(x,y)$
**Teorema:** En $\mathbb{R}^n$, totes les mètriques $d_p$ ($1 \leq p \leq \infty$) són equivalents.
## 7. Completesa
### 7.1 Successions de Cauchy
Una successió $(x_n)$ és **de Cauchy** si:
$$\forall \varepsilon > 0, \exists N : m, n > N \Rightarrow d(x_m, x_n) < \varepsilon$$
**Propietat:** Tota successió convergent és de Cauchy.
### 7.2 Espais complets
Un espai mètric $(X, d)$ és **complet** si tota successió de Cauchy convergeix (a un element de $X$).
**Exemples:**
- $\mathbb{R}$ amb la mètrica usual és complet
- $\mathbb{Q}$ no és complet (successions que "convergeixen" a irracionals)
- $\mathbb{R}^n$ és complet
- $\mathcal{C}[a,b]$ amb $d_\infty$ és complet
- Tot espai amb mètrica discreta és complet
### 7.3 Completació
Tot espai mètric $(X, d)$ es pot "completar": existeix un espai complet $(\tilde{X}, \tilde{d})$ i una isometria $\varphi: X \to \tilde{X}$ amb $\varphi(X)$ dens a $\tilde{X}$.
**Exemple:** $\mathbb{Q}$ es completa a $\mathbb{R}$.
## 8. Compacitat
### 8.1 Definició per recobriments
$K \subseteq X$ és **compacte** si tot recobriment per oberts admet un subrecobriment finit.
### 8.2 Compacitat seqüencial
$K$ és **seqüencialment compacte** si tota successió en $K$ té una subsuccessió convergent (a un punt de $K$).
**Teorema:** En espais mètrics, compacitat i compacitat seqüencial són equivalents.
### 8.3 Caracterització en $\mathbb{R}^n$ (Heine-Borel)
En $\mathbb{R}^n$ amb la mètrica usual:
$$K \text{ compacte} \Leftrightarrow K \text{ tancat i fitat}$$
### 8.4 Propietats dels compactes
1. Tot compacte és tancat i fitat
2. Subconjunt tancat d'un compacte és compacte
3. Imatge contínua d'un compacte és compacte
4. En un compacte, tota funció contínua és uniformement contínua
5. Tota funció contínua real en un compacte assoleix màxim i mínim
## 9. Connexitat
### 9.1 Definició
$(X, d)$ és **connex** si no es pot escriure com a unió disjunta de dos oberts no buits.
Equivalentment: els únics subconjunts de $X$ que són oberts i tancats alhora són $\emptyset$ i $X$.
### 9.2 Connexitat per arcs
$X$ és **connex per arcs** si dos punts qualssevol es poden unir per un camí continu: per a tot $a, b \in X$ existeix $\gamma: [0,1] \to X$ contínua amb $\gamma(0) = a$, $\gamma(1) = b$.
**Relació:** Connex per arcs ⟹ Connex. El recíproc és fals en general (però cert en oberts de $\mathbb{R}^n$).
### 9.3 Components connexes
Tot espai mètric es descompon de manera única en **components connexes** (subconjunts connexos maximals).
## 10. Teoremes de Punt Fix
### 10.1 Teorema de Banach (Contracció)
Sigui $(X, d)$ un espai mètric **complet** i $f: X \to X$ una **contracció** (existeix $0 \leq k < 1$ tal que $d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y)$).
Llavors $f$ té un **únic punt fix** $x^* \in X$ (és a dir, $f(x^*) = x^*$), i per a qualsevol $x_0 \in X$, la successió $x_{n+1} = f(x_n)$ convergeix a $x^*$.
**Aplicació:** Resolució d'equacions, existència de solucions d'equacions diferencials.
### 10.2 Velocitat de convergència
$$d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k} d(x_0, x_1)$$
## 11. Subespais i Productes
### 11.1 Subespais mètrics
Si $(X, d)$ és mètric i $Y \subseteq X$, llavors $(Y, d|_{Y \times Y})$ és un espai mètric (mètrica induïda).
### 11.2 Producte d'espais mètrics
Donats $(X_1, d_1)$ i $(X_2, d_2)$, en $X_1 \times X_2$ es defineix:
$$d((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{d_1(x_1, y_1)^2 + d_2(x_2, y_2)^2}$$
o equivalentment $d_1 + d_2$ o $\max(d_1, d_2)$.
## 12. Aplicacions Didàctiques
### 12.1 Batxillerat
- Distància euclidiana: fórmula i propietats
- Convergència de successions amb la definició $\varepsilon-N$
- Intuïció de compacitat com "tancat i fitat"
### 12.2 Universitat
- Definició axiomàtica d'espai mètric
- Exemples en espais funcionals
- Teoremes de punt fix i aplicacions
## 13. Conclusions
Els espais mètrics proporcionen el marc rigorós per a l'anàlisi. La mètrica permet definir convergència, continuïtat i compacitat de manera precisa. Els teoremes clau (Heine-Borel, Banach) tenen implicacions profundes en anàlisi i equacions diferencials.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
