T43. Semblances. Aplicacions

Desarrollo del tema

# SEMBLANCES. APLICACIONS

## 1. Introducció

Les **semblances** són transformacions geomètriques que preserven la forma de les figures, però no necessàriament la mida. Generalitzen les isometries afegint la possibilitat d'ampliar o reduir les figures proporcionalment.

El concepte de semblança és fonamental en geometria, cartografia, art, arquitectura i moltes altres disciplines on es treballa amb models a escala o reproduccions proporcionals.

## 2. Definició i Propietats

### 2.1 Definició Formal

**Definició:** Una aplicació $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ és una **semblança** de raó $k > 0$ si: $$d(f(P), f(Q)) = k \cdot d(P, Q) \quad \forall P, Q$$

**Casos particulars:** - Si $k = 1$: la semblança és una **isometria** - Si $k > 1$: **ampliació** - Si $k < 1$: **reducció**

### 2.2 Propietats Fonamentals

Tota semblança de raó $k$:

1. **Preserva angles:** Els angles entre rectes es conserven

2. **Preserva proporcions:** $\frac{d(f(A), f(B))}{d(f(C), f(D))} = \frac{d(A, B)}{d(C, D)}$

3. **Transforma rectes en rectes** i cercles en cercles

4. **Multiplica àrees per $k^2$:** $\text{Àrea}(f(\Omega)) = k^2 \cdot \text{Àrea}(\Omega)$

5. **Multiplica volums per $k^3$:** $\text{Volum}(f(\Omega)) = k^3 \cdot \text{Volum}(\Omega)$

### 2.3 Composició de Semblances

Si $f$ és semblança de raó $k_1$ i $g$ és semblança de raó $k_2$: $$g \circ f \text{ és semblança de raó } k_1 \cdot k_2$$

## 3. L'Homotècia

### 3.1 Definició

Una **homotècia** de centre $O$ i raó $k \neq 0$ és l'aplicació $H_{O,k}$ tal que: $$\overrightarrow{OH_{O,k}(P)} = k \cdot \overrightarrow{OP}$$

Equivalentment: $$H_{O,k}(P) = O + k \cdot (P - O) = (1-k)O + kP$$

### 3.2 Expressió Analítica

Si $O = (a, b)$ i $P = (x, y)$: $$H_{O,k}(x, y) = (a + k(x-a), b + k(y-b)) = ((1-k)a + kx, (1-k)b + ky)$$

Per $O$ a l'origen: $$H_{O,k}(x, y) = (kx, ky)$$

Matriu (coordenades homogènies): $$H_{O,k} = \begin{pmatrix} k & 0 & a(1-k) \\ 0 & k & b(1-k) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

### 3.3 Propietats de l'Homotècia

1. **Punt fix:** $O$ és l'únic punt fix (si $k \neq 1$)

2. **Rectes:** Una recta es transforma en una recta paral·lela (o ella mateixa si passa per $O$)

3. **Composició:** $H_{O,k_1} \circ H_{O,k_2} = H_{O,k_1 k_2}$

4. **Invers:** $(H_{O,k})^{-1} = H_{O,1/k}$

5. **Si $k < 0$:** Homotècia negativa (inclou simetria central) - $H_{O,-1}$ = simetria respecte a $O$

### 3.4 Construcció Geomètrica

Per construir $P' = H_{O,k}(P)$: 1. Traçar la semirecta $\overrightarrow{OP}$ 2. Sobre aquesta semirecta (o la prolongació si $k < 0$), marcar $P'$ tal que $|OP'| = |k| \cdot |OP|$

## 4. Classificació de les Semblances

### 4.1 Teorema de Descomposició

**Teorema:** Tota semblança es pot descompondre com: $$\text{Semblança} = \text{Isometria} \circ \text{Homotècia}$$

O equivalentment: $$\text{Semblança} = \text{Homotècia} \circ \text{Isometria}$$

### 4.2 Semblances Directes i Inverses

**Semblança directa:** Preserva l'orientació - Composició d'homotècia i isometria directa (translació o rotació) - Forma matricial: $\det > 0$

**Semblança inversa:** Inverteix l'orientació - Composició d'homotècia i isometria inversa (reflexió) - Forma matricial: $\det < 0$

### 4.3 Forma General

Tota semblança del pla s'expressa com: $$f(x, y) = (ax - \varepsilon by + c, bx + \varepsilon ay + d)$$

on $a^2 + b^2 = k^2$ (raó al quadrat), $\varepsilon = \pm 1$: - $\varepsilon = +1$: semblança directa - $\varepsilon = -1$: semblança inversa

## 5. Figures Semblants

### 5.1 Definició

Dues figures $F$ i $F'$ són **semblants** (escrivim $F \sim F'$) si existeix una semblança $f$ tal que $f(F) = F'$.

### 5.2 Triangles Semblants

**Criteris de semblança de triangles:**

1. **Criteri AA (angle-angle):** Dos angles iguals $$\angle A = \angle A', \quad \angle B = \angle B' \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$

2. **Criteri LAL (costat-angle-costat):** Costats proporcionals i angle comprès igual $$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = k, \quad \angle A = \angle A' \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$

3. **Criteri LLL (costat-costat-costat):** Costats proporcionals $$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$

### 5.3 Propietats dels Triangles Semblants

Si $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ amb raó $k$: - Costats: $A'B' = k \cdot AB$, etc. - Perímetres: $P' = k \cdot P$ - Alçades: $h' = k \cdot h$ - Àrees: $S' = k^2 \cdot S$

## 6. Teoremes Clàssics

### 6.1 Teorema de Tales

Si tres o més rectes paral·leles tallen dues transversals, els segments determinats sobre una transversal són proporcionals als determinats sobre l'altra:

$$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$$

**Recíproc:** Si els segments són proporcionals, les rectes són paral·leles.

### 6.2 Teorema de l'Altura

En un triangle rectangle, l'altura sobre la hipotenusa determina dos triangles semblants al original i entre ells:

$$\triangle ABC \sim \triangle AHC \sim \triangle HBC$$

D'aquí es dedueix: $$h^2 = m \cdot n$$ on $h$ és l'altura, i $m$, $n$ les projeccions dels catets.

### 6.3 Teorema del Catet

$$a^2 = c \cdot m, \quad b^2 = c \cdot n$$ on $a$, $b$ són catets, $c$ la hipotenusa, $m$, $n$ les projeccions.

## 7. Raó Àuria i Espiral Logarítmica

### 7.1 La Raó Àuria

La **raó àuria** $\phi$ és: $$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

Propietat definitòria: un segment dividit en raó àuria compleix: $$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$$

**Aparició:** - Pentàgon regular - Successió de Fibonacci: $\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi$ - Art i arquitectura

### 7.2 Espiral Logarítmica

L'espiral que s'amplia mantenint la forma és l'**espiral logarítmica**: $$r = ae^{b\theta}$$

Propietat: Tota semblança centrada a l'origen transforma l'espiral en ella mateixa.

Apareix a la natura: closques de mol·luscos, galàxies espirals.

## 8. Aplicacions

### 8.1 Cartografia i Escales

Les escales dels mapes són raons de semblança: - Escala 1:50.000 significa $k = 1/50000$ - 1 cm al mapa = 500 m a la realitat

**Àrea:** Si l'escala lineal és $1:n$, l'escala d'àrees és $1:n^2$

### 8.2 Models i Maquetes

- Maquetes arquitectòniques - Models a escala (avions, vaixells) - Prototips reduïts per proves

### 8.3 Fotografia i Òptica

- Ampliació/reducció d'imatges - Projeccions - Zoom de càmeres

### 8.4 Biologia i Medicina

- Microscòpia: augment de la imatge - Alometria: relació entre mida i forma en organismes - Radiografia: projecció cònica

### 8.5 Fractals

Molts fractals es defineixen per autosemblança: - Conjunt de Cantor - Triangle de Sierpinski - Corba de Koch

## 9. Resolució de Problemes

### 9.1 Problemes d'Homotècia

**Exemple:** Trobar el punt $P$ sobre una recta $r$ tal que les distàncies a dos punts $A$ i $B$ estiguin en raó 2:3.

**Solució:** $P$ és el centre d'homotècia que transforma $A$ en $B$ amb raó $3/2$ (o raó negativa per l'altre punt).

### 9.2 Problemes de Triangles Semblants

**Exemple:** En un triangle, una paral·lela a la base talla els costats a 2/5 de la base. Quina és la raó d'àrees?

**Solució:** El triangle petit és semblant al gran amb raó $k = 2/5$. Raó d'àrees: $k^2 = 4/25$.

### 9.3 Construccions amb Regla i Compàs

- Dividir un segment en $n$ parts iguals (Tales) - Construir la quarta proporcional - Construir la mitjana geomètrica

## 10. El Grup de les Semblances

### 10.1 Estructura de Grup

Les semblances formen un grup $\text{Sim}(\mathbb{R}^2)$: $$\text{Sim}(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{R}^+ \times E(2)$$

on $\mathbb{R}^+$ és el grup multiplicatiu de les raons.

### 10.2 Subgrups

- **Isometries $E(2)$:** Semblances amb $k = 1$ - **Homotècies:** Subgrup de les semblances directes

## 11. Didàctica

### 11.1 ESO

- **Manipulació:** Fotocòpies ampliades/reduïdes, pantògraf - **Problemes contextualitzats:** Escales de mapes, ombres - **Construccions:** Dividir segments, triangles semblants

### 11.2 Batxillerat

- **Formalització:** Definició de semblança, demostracions - **Transformacions:** Composició, grup de semblances - **Aplicacions avançades:** Espiral logarítmica, fractals

## 12. Conclusions

Les semblances generalitzen les isometries permetent canvis d'escala. L'homotècia és la semblança fonamental, i tota semblança es descomposa en homotècia i isometria. Els teoremes clàssics (Tales, triangles semblants) tenen nombroses aplicacions pràctiques en cartografia, arquitectura, art i ciència. La raó àuria i els fractals connecten les semblances amb patrons naturals i artístics.