T26. Diferencial. Aplicacions

Desarrollo del tema

# DIFERENCIAL. APLICACIONS

## 1. Introducció

El concepte de **diferencial** formalitza l’aproximació lineal d’una funció en un punt i és una peça clau del càlcul en una i diverses variables. En una variable, el diferencial està íntimament lligat a la derivada i a l’aproximació de Taylor. En diverses variables, la diferenciabilitat es tradueix en l’existència d’una aplicació lineal (el **diferencial**) que aproxima la funció. Aquesta idea és la base de mètodes d’optimització, propagació d’errors, anàlisi local i geometria diferencial elemental.

## 2. Diferencial en una variable

### 2.1 Definició

Sigui $f: I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ derivable en $a$. Definim el **diferencial** de $f$ en $a$ com l’aplicació lineal:

$$df_a: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad df_a(h)=f'(a)\,h.$$

Sovint s’escriu, per a un increment $\Delta x$:

$$df = f'(a)\,dx,\qquad \text{on } dx=\Delta x.$$

La idea central és que:

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h) \quad (h\to0),$$

és a dir, l’error entre la funció i la seva aproximació lineal és d’ordre més petit que $h$.

### 2.2 Aproximació lineal i error

L’**aproximació lineal** al voltant d’$a$ és:

$$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.$$

Si $f$ té derivada segona acotada prop d’$a$, el **rest de Taylor** dona un control de l’error:

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(\xi)}{2}h^2,$$

per algun $\xi$ entre $a$ i $a+h$. Per tant, l’error és $O(h^2)$.

### 2.3 Diferencial de funcions compostes

Si $y=f(u)$ i $u=g(x)$, llavors:

$$dy=f'(u)\,du,\qquad du=g'(x)\,dx,\qquad \Rightarrow dy=f'(g(x))g'(x)\,dx.$$

És la regla de la cadena en notació diferencial.

## 3. Diferencial en diverses variables

### 3.1 Derivada (diferencial) com a aplicació lineal

Sigui $f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ i $\mathbf{a}\in U$. Direm que $f$ és **diferenciable** en $\mathbf{a}$ si existeix una aplicació lineal $L: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ tal que:

$$f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=f(\mathbf{a})+L(\mathbf{h})+o(\|\mathbf{h}\|)\quad (\mathbf{h}\to\mathbf{0}).$$

Aquesta aplicació lineal s’anomena **diferencial** de $f$ en $\mathbf{a}$ i s’escriu $df_{\mathbf{a}}$ o $Df(\mathbf{a})$.

En el cas $m=1$ (funció escalar), $L(\mathbf{h})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot \mathbf{h}$.

### 3.2 Matriu jacobiana

Si $f=(f_1,\dots,f_m)$, la matriu del diferencial és la **jacobiana**:

$$J_f(\mathbf{a})=\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{a})\right)_{i=1..m,\,j=1..n}.$$

Llavors:

$$df_{\mathbf{a}}(\mathbf{h})=J_f(\mathbf{a})\,\mathbf{h}.$$

### 3.3 Condició suficient de diferenciabilitat

**Teorema:** Si totes les derivades parcials de $f$ existeixen en un entorn de $\mathbf{a}$ i són **contínues** en $\mathbf{a}$, aleshores $f$ és diferenciable en $\mathbf{a}$.

(Hipòtesi $C^1$.)

### 3.4 Diferencial total

Per a $f(x_1,\dots,x_n)$ diferenciable:

$$df=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a})\,dx_i.$$

Aquesta expressió descriu la millor aproximació lineal de $\Delta f$:

$$\Delta f \approx df.$$

## 4. Derivades direccionals i pla tangent

### 4.1 Derivada direccional

Si $f: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ és diferenciable i $\mathbf{u}$ és unitari:

$$D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot \mathbf{u}.$$

El màxim valor de la derivada direccional és $\|\nabla f(\mathbf{a})\|$ (direcció del gradient).

### 4.2 Pla tangent a una superfície

Si $z=f(x,y)$ és diferenciable en $(a,b)$, el **pla tangent** a la gràfica en $(a,b,f(a,b))$ és:

$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).$$

Aquest pla és la representació geomètrica del diferencial.

Per a una superfície implícita $F(x,y,z)=0$ amb $\nabla F\neq 0$, el pla tangent en $(a,b,c)$ és:

$$F_x(a,b,c)(x-a)+F_y(a,b,c)(y-b)+F_z(a,b,c)(z-c)=0.$$

## 5. Regla de la cadena (forma general)

Si $g: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ i $f: \mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^m$ són diferenciables, llavors $f\circ g$ és diferenciable i:

$$D(f\circ g)(\mathbf{a})=Df(g(\mathbf{a}))\,Dg(\mathbf{a}).$$

En termes de jacobians: $J_{f\circ g}(\mathbf{a})=J_f(g(\mathbf{a}))\,J_g(\mathbf{a})$.

## 6. Aplicacions: Propagació d’errors

Si $y=f(x)$ i $x$ té un petit error $\Delta x$, aleshores:

$$\Delta y\approx dy=f'(a)\,\Delta x.$$

Error relatiu aproximat:

$$\frac{|\Delta y|}{|y|}\approx \left|\frac{f'(a)}{f(a)}\right|\,|\Delta x|.$$

En diverses variables, si $y=f(x_1,\dots,x_n)$ i hi ha errors $\Delta x_i$:

$$\Delta y\approx df=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(\mathbf{a})\,\Delta x_i.$$

**Acotació:** si $|\Delta x_i|\leq \varepsilon_i$, llavors:

$$|\Delta y|\lesssim \sum_{i=1}^n |f_{x_i}(\mathbf{a})|\,\varepsilon_i.$$

## 7. Aplicacions: Optimització amb restriccions (esbós)

El diferencial és la base del mètode dels **multiplicadors de Lagrange**.

Per maximitzar/minimitzar $f(x,y)$ sota la restricció $g(x,y)=0$, en punts regulars ($\nabla g\neq 0$):

$$\nabla f=\lambda\,\nabla g.$$

Interpretem que el gradient (direcció de màxim creixement) de $f$ és paral·lel al de la restricció: en el punt òptim, el moviment permès és tangent a la corba de nivell de $g$ i el diferencial de $f$ s’anul·la en direccions tangents.

## 8. Diferencial i desenvolupament de Taylor multivariable

Si $f\in C^2$ en un entorn de $\mathbf{a}$:

$$f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})\cdot \mathbf{h}+\frac12\,\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a})\,\mathbf{h}+o(\|\mathbf{h}\|^2),$$

on $H_f$ és la **hessiana**. El terme lineal és el diferencial, i el terme quadràtic explica la curvatura (clau per classificar extrems).

## 9. Conclusions

El diferencial és l’eina que generalitza la derivada com a aproximació lineal. En una variable, condueix a l’aproximació de Taylor i a l’estimació d’errors. En diverses variables, es concreta en el jacobià i el gradient, i permet formular de manera elegant la regla de la cadena, el pla tangent i la propagació d’incerteses. Dominar el diferencial és essencial per comprendre l’anàlisi local i les aplicacions a optimització i modelització.