T13. Matrius. Aplicacions

Desarrollo del tema

# MATRIUS. APLICACIONS

## 1. Introducció

Les **matrius** són objectes matemàtics fonamentals que organitzen informació numèrica en files i columnes. Apareixen de manera natural com a representacions d'aplicacions lineals, sistemes d'equacions, grafs, transformacions geomètriques i en moltes aplicacions de la ciència i l'enginyeria.

El terme "matriu" va ser introduït per **James Joseph Sylvester** el 1850, mentre que **Arthur Cayley** va desenvolupar l'àlgebra matricial sistemàticament el 1858.

## 2. Definicions Bàsiques

Una **matriu** $A$ de dimensió $m \times n$ sobre un cos $K$ és una taula rectangular de $m$ files i $n$ columnes d'elements de $K$:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}}$$

**Notació:** $\mathcal{M}_{m \times n}(K)$ denota el conjunt de matrius $m \times n$ amb elements a $K$.

### Tipus especials de matrius

- **Matriu fila:** $m = 1$ - **Matriu columna:** $n = 1$ - **Matriu quadrada:** $m = n$ - **Matriu nul·la:** $O$, amb $a_{ij} = 0$ per a tot $i, j$ - **Matriu identitat:** $I_n$, quadrada amb $a_{ii} = 1$ i $a_{ij} = 0$ si $i \neq j$ - **Matriu diagonal:** $a_{ij} = 0$ si $i \neq j$ - **Matriu triangular superior:** $a_{ij} = 0$ si $i > j$ - **Matriu triangular inferior:** $a_{ij} = 0$ si $i < j$

## 3. Operacions amb Matrius

### 3.1 Suma de matrius

Donades $A, B \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$: $$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

### 3.2 Producte per escalar

Donat $\lambda \in K$ i $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$: $$(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}$$

**Teorema:** $(\mathcal{M}_{m \times n}(K), +, \cdot)$ és un espai vectorial de dimensió $mn$.

### 3.3 Producte de matrius

Donades $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$ i $B \in \mathcal{M}_{n \times p}(K)$, el producte $AB \in \mathcal{M}_{m \times p}(K)$ es defineix per:

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$$

**Propietats del producte:** 1. **Associativa:** $(AB)C = A(BC)$ 2. **Distributiva:** $A(B + C) = AB + AC$ i $(A + B)C = AC + BC$ 3. **Element neutre:** $I_n A = A = A I_m$ (per $A \in \mathcal{M}_{n \times m}$) 4. **NO commutativa:** En general, $AB \neq BA$ 5. $\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$

**Atenció:** El producte de matrius no és commutatiu. Existeixen $A, B$ amb $AB \neq BA$, i fins i tot amb $AB = O$ però $A \neq O$ i $B \neq O$.

## 4. Transposició i Matrius Especials

### 4.1 Matriu transposada

La **transposada** de $A \in \mathcal{M}_{m \times n}$ és $A^T \in \mathcal{M}_{n \times m}$ amb $(A^T)_{ij} = a_{ji}$.

**Propietats:** 1. $(A^T)^T = A$ 2. $(A + B)^T = A^T + B^T$ 3. $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ 4. $(AB)^T = B^T A^T$ (inverteix l'ordre!)

### 4.2 Matrius simètriques i antisimètriques

- **Simètrica:** $A^T = A$ (equivalent a $a_{ij} = a_{ji}$) - **Antisimètrica:** $A^T = -A$ (equivalent a $a_{ij} = -a_{ji}$, i per tant $a_{ii} = 0$)

**Teorema:** Tota matriu quadrada es descompon de manera única com a suma d'una simètrica i una antisimètrica: $$A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$$

### 4.3 Matrius ortogonals

Una matriu quadrada $Q$ és **ortogonal** si $Q^T Q = Q Q^T = I$, és a dir, $Q^{-1} = Q^T$.

**Propietats:** - Les columnes (i files) de $Q$ formen una base ortonormal - $\det(Q) = \pm 1$ - Preserven longituds i angles: $\|Qv\| = \|v\|$ - Exemples: matrius de rotació, reflexió

## 5. Matriu Inversa

Una matriu quadrada $A \in \mathcal{M}_n(K)$ és **invertible** (o regular) si existeix $B \in \mathcal{M}_n(K)$ tal que: $$AB = BA = I_n$$

En aquest cas, $B$ és única i s'escriu $B = A^{-1}$.

### Propietats

1. $(A^{-1})^{-1} = A$ 2. $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 3. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ 4. $(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$ per $\lambda \neq 0$

### Criteris d'invertibilitat

Una matriu $A \in \mathcal{M}_n(K)$ és invertible si i només si: - $\det(A) \neq 0$ - $\text{rang}(A) = n$ - Les columnes (o files) són linealment independents - $\ker(A) = \{0\}$ (com a aplicació lineal) - El sistema $Ax = b$ té solució única per a tot $b$

### Càlcul de la inversa

**Mètode de Gauss-Jordan:** Aplicar operacions elementals a $(A | I)$ fins obtenir $(I | A^{-1})$.

**Fórmula amb adjunta:** $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$

## 6. Rang d'una Matriu

El **rang** d'una matriu $A$, denotat $\text{rang}(A)$ o $\text{rk}(A)$, és: - El nombre màxim de columnes (o files) linealment independents - La dimensió de l'espai columna (o espai fila) - L'ordre de la submatriu quadrada més gran amb determinant no nul

**Propietats:** 1. $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^T)$ 2. $\text{rang}(A) \leq \min(m, n)$ per $A \in \mathcal{M}_{m \times n}$ 3. $\text{rang}(AB) \leq \min(\text{rang}(A), \text{rang}(B))$ 4. Si $P$ i $Q$ són invertibles: $\text{rang}(PAQ) = \text{rang}(A)$

### Càlcul del rang

S'utilitza l'**escalonament per files** (eliminació de Gauss): el rang és el nombre de files no nul·les de la forma escalonada.

## 7. Operacions Elementals i Forma Escalonada

### Operacions elementals per files

1. **Intercanvi:** Permutar dues files: $F_i \leftrightarrow F_j$ 2. **Escalat:** Multiplicar una fila per escalar no nul: $F_i \to \lambda F_i$ 3. **Combinació:** Sumar a una fila un múltiple d'una altra: $F_i \to F_i + \lambda F_j$

Cada operació correspon a multiplicar per una **matriu elemental** per l'esquerra.

### Forma escalonada per files

Una matriu està en **forma escalonada** si: 1. Les files nul·les estan a la part inferior 2. El primer element no nul de cada fila (pivot) està a la dreta del pivot de la fila anterior

**Forma escalonada reduïda:** A més, cada pivot és 1 i és l'únic element no nul de la seva columna.

## 8. Matrius i Aplicacions Lineals

### Correspondència fonamental

Fixades bases $B$ de $V$ i $B'$ de $W$, hi ha una bijecció: $$\mathcal{L}(V, W) \longleftrightarrow \mathcal{M}_{m \times n}(K)$$

Cada aplicació lineal té una matriu associada, i cada matriu defineix una aplicació lineal.

### Matriu de canvi de base

Si $B$ i $B'$ són bases de $V$, la matriu $P_{B \to B'}$ satisfà: $$[v]_{B'} = P_{B \to B'}^{-1} [v]_B$$

## 9. Potències de Matrius i Diagonalització

### Potències

Per a $A \in \mathcal{M}_n$: $A^0 = I$, $A^k = A \cdot A^{k-1}$.

Si $A$ és **diagonalitzable** ($A = PDP^{-1}$ amb $D$ diagonal): $$A^k = P D^k P^{-1}$$

on $D^k$ és fàcil de calcular (elevar cada element diagonal a la $k$).

### Exponencial de matrius

$$e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots$$

Important en sistemes d'equacions diferencials lineals: $x'(t) = Ax(t)$ té solució $x(t) = e^{At} x(0)$.

## 10. Aplicacions de les Matrius

### 10.1 Sistemes d'equacions lineals

El sistema $Ax = b$ s'analitza amb el rang de $A$ i de $(A|b)$: - Compatible determinat si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) = n$ - Compatible indeterminat si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) < n$ - Incompatible si $\text{rang}(A) < \text{rang}(A|b)$

### 10.2 Transformacions geomètriques

En $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{R}^3$: rotacions, reflexions, projeccions, escalats s'expressen com a productes matricials.

**Rotació en $\mathbb{R}^2$:** $$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

### 10.3 Grafs i xarxes

La **matriu d'adjacència** $A$ d'un graf té $a_{ij} = 1$ si hi ha aresta de $i$ a $j$. $(A^k)_{ij}$ compta camins de longitud $k$.

### 10.4 Cadenes de Markov

Una **matriu estocàstica** (columnes sumen 1) representa probabilitats de transició. El vector estacionari és autovector amb autovalor 1.

### 10.5 Processament d'imatges

Convolucions, filtres i transformacions d'imatges s'implementen amb operacions matricials.

## 11. Aplicacions Didàctiques

### 11.1 ESO i Batxillerat

- **Introducció visual:** Taules de dades, fulls de càlcul - **Transformacions:** GeoGebra per visualitzar rotacions, reflexions - **Sistemes:** Mètode de Gauss pas a pas

### 11.2 Universitat

- **Abstracció:** Matrius com a representacions d'aplicacions lineals - **Computació:** Algoritmes eficients, complexitat - **Aplicacions avançades:** Valors propis, SVD, PCA

## 12. Conclusions

Les matrius són l'eina computacional de l'àlgebra lineal. Permeten representar aplicacions lineals, resoldre sistemes d'equacions i modelar transformacions. La seva teoria connecta àlgebra, geometria i anàlisi numèrica.