📋 RESUM: Nombres reals, aproximació i errors
• √2 és irracional: demostració per reducció a l'absurd
• Construccions de ℝ: successions de Cauchy (Cantor) o talls de Dedekind
• Axioma del suprem: tot subconjunt fitat té suprem a ℝ (completitud)
• Decimals: exactes i periòdics (racionals), infinits no periòdics (irracionals)
• Error absolut: Eₐ = |x-a|; Error relatiu: Eᵣ = |x-a|/|x|
• Propagació: suma→errors s'afegeixen; producte→errors relatius s'afegeixen
• Notació científica: a×10ⁿ amb 1≤|a|<10
Desarrollo del tema
# NOMBRES REALS. APROXIMACIÓ DECIMAL. ERRORS
## 1. Introducció
El conjunt dels nombres racionals $\mathbb{Q}$ sembla dens i suficient, però ja a l'antiga Grècia els pitagòrics van descobrir magnituds **incommensurables**: longituds que no es poden expressar com a quocient de dos enters. Per "omplir els forats" de $\mathbb{Q}$, construïm el conjunt dels **nombres reals** $\mathbb{R}$.
## 2. La Incompletitud de $\mathbb{Q}$
### 2.1 Demostració de la irracionalitat de $\sqrt{2}$
**Teorema:** $\sqrt{2}$ és irracional.
**Demostració (reducció a l'absurd):**
Suposem que $\sqrt{2}$ és racional. Aleshores es pot escriure com fracció irreductible:
Per tant, $q^2$ és parell, i aleshores $q$ és parell.
**Contradicció:** Tant $p$ com $q$ són parells, però havíem suposat que $\text{mcd}(p,q) = 1$.
Per tant, $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. ∎
### 2.2 Altres nombres irracionals
- $\sqrt{n}$ és irracional si $n$ no és un quadrat perfecte
- $\sqrt[n]{m}$ és irracional si $m$ no és potència $n$-èsima perfecta
- $\pi$, $e$, $\ln 2$, $\cos(1)$...
## 3. La Construcció de $\mathbb{R}$
### 3.1 Successions de Cauchy (Cantor)
Un nombre real és el límit d'una successió de racionals que s'aproximen entre si.
**Definició:** Una successió $\{x_n\}$ de racionals és de **Cauchy** si:
$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: n, m > N \Rightarrow |x_n - x_m| < \epsilon$$
$\mathbb{R}$ es defineix com les classes d'equivalència de successions de Cauchy.
**Exemple:** $\sqrt{2}$ és el límit de $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \ldots$
### 3.2 Talls de Dedekind
Un **tall** és una partició de $\mathbb{Q}$ en dos conjunts $A$ i $B$ tal que:
1. $A \cup B = \mathbb{Q}$, $A \cap B = \emptyset$
2. Tot element de $A$ és menor que tot element de $B$
3. $A$ no té element màxim
Cada tall representa un nombre real únic. Si $B$ té mínim, és racional; si no, és irracional.
## 4. La Propietat del Suprem (Completitud)
### 4.1 Definicions
- Un conjunt $S \subset \mathbb{R}$ està **fitat superiorment** si existeix $M$ tal que $x \leq M$ per a tot $x \in S$
- El **suprem** $\sup(S)$ és la més petita de les fites superiors
### 4.2 Axioma del Suprem
> Tot subconjunt no buit de $\mathbb{R}$ que està fitat superiorment té un suprem en $\mathbb{R}$.
**$\mathbb{Q}$ no satisfà aquesta propietat:** El conjunt $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ està fitat però no té suprem a $\mathbb{Q}$.
La completitud garanteix que **la recta real no té "forats"**.
**Nota:** Alguns racionals tenen dues representacions: $1 = 0.\overline{9}$
## 6. Aproximacions Decimals
### 6.1 Truncament
Eliminar xifres decimals a partir d'una posició.
**Exemple:** Truncar $\pi = 3.14159265...$ a 4 decimals: $3.1415$
### 6.2 Arrodoniment
Ajustar l'última xifra segons el valor de la primera descartada:
- Si primera descartada $\geq 5$: incrementar última conservada
- Si primera descartada $< 5$: mantenir
**Exemples:**
- Arrodonir $\pi$ a 4 decimals: $3.1416$ (la cinquena xifra és 9)
- Arrodonir $1.2341$ a 3 decimals: $1.234$ (la quarta xifra és 1)
L'arrodoniment és generalment més precís que el truncament.
## 7. Errors
### 7.1 Error absolut
$$E_a = |x - a|$$
on $x$ és el valor real i $a$ el valor aproximat.
**Fita de l'error absolut:** Si $|x - a| \leq \Delta a$, aleshores:
L'error relatiu és adimensional i sovint s'expressa en **percentatge**.
**Exemple:** Error d'1 m en mesurar una taula de 2 m: $E_r = 50\%$ (greu)
Error d'1 m en mesurar distància Terra-Lluna: $E_r \approx 0.0000003\%$ (negligible)
### 7.3 Xifres significatives
Són totes les xifres a partir del primer dígit no nul:
- $3.1416$: 5 xifres significatives
- $0.0025$: 2 xifres significatives (2 i 5)
- $1300$: Ambigu (pot ser 2, 3 o 4)
La notació científica elimina l'ambigüitat.
## 8. Propagació d'Errors
Siguin $x$, $y$ valors reals aproximats per $a_x$, $a_y$ amb errors $\Delta x$, $\Delta y$.
### 8.1 Suma i resta
$$z = x \pm y \Rightarrow \Delta z = \Delta x + \Delta y$$
**Cancel·lació catastròfica:** En una resta de nombres molt propers, l'error relatiu pot augmentar dràsticament.
### 8.2 Multiplicació i divisió
$$z = x \cdot y \text{ o } z = x/y \Rightarrow E_r(z) \approx E_r(x) + E_r(y)$$
### 8.3 Potenciació
$$z = x^n \Rightarrow E_r(z) \approx n \cdot E_r(x)$$
- **Demostracions:** Irracionalitat de $\sqrt{2}$
- **Intervals:** Notació, operacions
- **Propagació d'errors:** Laboratori de física/química
- **Notació científica:** Ciències aplicades
### 10.3 Aspectes a destacar
- $\mathbb{Q}$ és dens a $\mathbb{R}$ però no el cobreix
- Existeixen "més" irracionals que racionals (cardinalitat)
- Els errors són inherents a tota mesura física
Els nombres reals completen la recta numèrica, "omplint els forats" de $\mathbb{Q}$ amb els irracionals. La propietat del suprem (completitud) és la característica fonamental que distingeix $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. En la pràctica, treballem amb aproximacions, i és crucial entendre i controlar els errors per garantir la fiabilitat dels càlculs.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
