T5. Nombres reals. Aproximació decimal. Errors

Desarrollo del tema

# NOMBRES REALS. APROXIMACIÓ DECIMAL. ERRORS

## 1. Introducció

El conjunt dels nombres racionals $\mathbb{Q}$ sembla dens i suficient, però ja a l'antiga Grècia els pitagòrics van descobrir magnituds **incommensurables**: longituds que no es poden expressar com a quocient de dos enters. Per "omplir els forats" de $\mathbb{Q}$, construïm el conjunt dels **nombres reals** $\mathbb{R}$.

## 2. La Incompletitud de $\mathbb{Q}$

### 2.1 Demostració de la irracionalitat de $\sqrt{2}$

**Teorema:** $\sqrt{2}$ és irracional.

**Demostració (reducció a l'absurd):**

Suposem que $\sqrt{2}$ és racional. Aleshores es pot escriure com fracció irreductible:

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q} \quad \text{amb } \text{mcd}(p, q) = 1$$

Elevant al quadrat:

$$2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$$

Per tant, $p^2$ és parell, i aleshores $p$ és parell: $p = 2k$

Substituint:

$$(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow 2k^2 = q^2$$

Per tant, $q^2$ és parell, i aleshores $q$ és parell.

**Contradicció:** Tant $p$ com $q$ són parells, però havíem suposat que $\text{mcd}(p,q) = 1$.

Per tant, $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. ∎

### 2.2 Altres nombres irracionals

- $\sqrt{n}$ és irracional si $n$ no és un quadrat perfecte - $\sqrt[n]{m}$ és irracional si $m$ no és potència $n$-èsima perfecta - $\pi$, $e$, $\ln 2$, $\cos(1)$...

## 3. La Construcció de $\mathbb{R}$

### 3.1 Successions de Cauchy (Cantor)

Un nombre real és el límit d'una successió de racionals que s'aproximen entre si.

**Definició:** Una successió $\{x_n\}$ de racionals és de **Cauchy** si:

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: n, m > N \Rightarrow |x_n - x_m| < \epsilon$$

$\mathbb{R}$ es defineix com les classes d'equivalència de successions de Cauchy.

**Exemple:** $\sqrt{2}$ és el límit de $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \ldots$

### 3.2 Talls de Dedekind

Un **tall** és una partició de $\mathbb{Q}$ en dos conjunts $A$ i $B$ tal que: 1. $A \cup B = \mathbb{Q}$, $A \cap B = \emptyset$ 2. Tot element de $A$ és menor que tot element de $B$ 3. $A$ no té element màxim

Cada tall representa un nombre real únic. Si $B$ té mínim, és racional; si no, és irracional.

## 4. La Propietat del Suprem (Completitud)

### 4.1 Definicions

- Un conjunt $S \subset \mathbb{R}$ està **fitat superiorment** si existeix $M$ tal que $x \leq M$ per a tot $x \in S$ - El **suprem** $\sup(S)$ és la més petita de les fites superiors

### 4.2 Axioma del Suprem

> Tot subconjunt no buit de $\mathbb{R}$ que està fitat superiorment té un suprem en $\mathbb{R}$.

**$\mathbb{Q}$ no satisfà aquesta propietat:** El conjunt $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ està fitat però no té suprem a $\mathbb{Q}$.

La completitud garanteix que **la recta real no té "forats"**.

## 5. Representació Decimal dels Reals

| Tipus | Representació | Exemple | |-------|---------------|---------| | Racional finit | Decimal exacte | $0.25 = \frac{1}{4}$ | | Racional infinit | Decimal periòdic | $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ | | Irracional | Decimal infinit no periòdic | $\sqrt{2} = 1.41421356...$ |

**Nota:** Alguns racionals tenen dues representacions: $1 = 0.\overline{9}$

## 6. Aproximacions Decimals

### 6.1 Truncament

Eliminar xifres decimals a partir d'una posició.

**Exemple:** Truncar $\pi = 3.14159265...$ a 4 decimals: $3.1415$

### 6.2 Arrodoniment

Ajustar l'última xifra segons el valor de la primera descartada: - Si primera descartada $\geq 5$: incrementar última conservada - Si primera descartada $< 5$: mantenir

**Exemples:** - Arrodonir $\pi$ a 4 decimals: $3.1416$ (la cinquena xifra és 9) - Arrodonir $1.2341$ a 3 decimals: $1.234$ (la quarta xifra és 1)

L'arrodoniment és generalment més precís que el truncament.

## 7. Errors

### 7.1 Error absolut

$$E_a = |x - a|$$

on $x$ és el valor real i $a$ el valor aproximat.

**Fita de l'error absolut:** Si $|x - a| \leq \Delta a$, aleshores:

$$a - \Delta a \leq x \leq a + \Delta a$$

Això defineix un **interval de confiança**.

### 7.2 Error relatiu

$$E_r = \frac{E_a}{|x|} = \frac{|x - a|}{|x|} \approx \frac{|x - a|}{|a|}$$

L'error relatiu és adimensional i sovint s'expressa en **percentatge**.

**Exemple:** Error d'1 m en mesurar una taula de 2 m: $E_r = 50\%$ (greu) Error d'1 m en mesurar distància Terra-Lluna: $E_r \approx 0.0000003\%$ (negligible)

### 7.3 Xifres significatives

Són totes les xifres a partir del primer dígit no nul: - $3.1416$: 5 xifres significatives - $0.0025$: 2 xifres significatives (2 i 5) - $1300$: Ambigu (pot ser 2, 3 o 4)

La notació científica elimina l'ambigüitat.

## 8. Propagació d'Errors

Siguin $x$, $y$ valors reals aproximats per $a_x$, $a_y$ amb errors $\Delta x$, $\Delta y$.

### 8.1 Suma i resta

$$z = x \pm y \Rightarrow \Delta z = \Delta x + \Delta y$$

**Cancel·lació catastròfica:** En una resta de nombres molt propers, l'error relatiu pot augmentar dràsticament.

### 8.2 Multiplicació i divisió

$$z = x \cdot y \text{ o } z = x/y \Rightarrow E_r(z) \approx E_r(x) + E_r(y)$$

### 8.3 Potenciació

$$z = x^n \Rightarrow E_r(z) \approx n \cdot E_r(x)$$

### 8.4 Funció general

Per a $f(x)$ derivable:

$$\Delta f(x) \approx |f'(x)| \cdot \Delta x$$

## 9. Notació Científica

Un nombre s'expressa com:

$$a \times 10^n \quad \text{on } 1 \leq |a| < 10$$

El nombre de xifres de $a$ indica les **xifres significatives**.

**Exemples:** - Distància Terra-Sol: $1.496 \times 10^8$ km (4 xifres significatives) - Massa d'electró: $9.109 \times 10^{-28}$ g

### Operacions

- $(a \times 10^n) \cdot (b \times 10^m) = (ab) \times 10^{n+m}$ - $(a \times 10^n) / (b \times 10^m) = (a/b) \times 10^{n-m}$

## 10. Aplicacions Didàctiques

### 10.1 ESO

- **Nombres irracionals:** Introducció de $\sqrt{2}$, $\pi$ - **Recta real:** Ubicar racionals i irracionals - **Aproximacions:** Arrodoniment, xifres significatives - **Calculadora:** Interpretar resultats aproximats

### 10.2 Batxillerat

- **Demostracions:** Irracionalitat de $\sqrt{2}$ - **Intervals:** Notació, operacions - **Propagació d'errors:** Laboratori de física/química - **Notació científica:** Ciències aplicades

### 10.3 Aspectes a destacar

- $\mathbb{Q}$ és dens a $\mathbb{R}$ però no el cobreix - Existeixen "més" irracionals que racionals (cardinalitat) - Els errors són inherents a tota mesura física

## 11. Resum de Conjunts Numèrics

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

| Conjunt | Operacions internes | Estructura | |---------|---------------------|------------| | $\mathbb{N}$ | $+$, $\cdot$ | Semianell | | $\mathbb{Z}$ | $+$, $-$, $\cdot$ | Anell | | $\mathbb{Q}$ | $+$, $-$, $\cdot$, $\div$ | Cos | | $\mathbb{R}$ | $+$, $-$, $\cdot$, $\div$ | Cos complet |

## 12. Conclusions

Els nombres reals completen la recta numèrica, "omplint els forats" de $\mathbb{Q}$ amb els irracionals. La propietat del suprem (completitud) és la característica fonamental que distingeix $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. En la pràctica, treballem amb aproximacions, i és crucial entendre i controlar els errors per garantir la fiabilitat dels càlculs.