T19. Continuïtat de funcions d'una variable real

Desarrollo del tema

# CONTINUÏTAT DE FUNCIONS D'UNA VARIABLE REAL

## 1. Introducció

La **continuïtat** formalitza la idea intuïtiva que una funció no té "salts". És un concepte central a l'anàlisi, perquè garanteix propietats qualitatives fortes: existència de zeros (Bolzano), assoliment de màxims i mínims (Weierstrass), valor intermedi i inverses contínues sota condicions.

Aquest tema connecta directament amb els límits (T18) i prepara el terreny per a la derivació (T20).

## 2. Definició de continuïtat

Sigui $f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ i $a\in D$.

### 2.1 Definició via límit

Diem que $f$ és **contínua en $a$** si existeix $\lim_{x\to a} f(x)$ i: $$\lim_{x\to a} f(x)=f(a).$$

Equivalentment: $$\forall \varepsilon>0\,\exists \delta>0: |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.$$

Observacions: - Cal que $a$ pertanyi al domini. - És una propietat **local**.

### 2.2 Continuïtat en un conjunt

- $f$ és contínua en un interval $I$ si és contínua en tot punt de $I$. - Continuïtat en un extrem: en $[a,b]$, a $a$ es demana continuïtat per la dreta; a $b$, per l'esquerra.

## 3. Discontinuïtats

Si $f$ no és contínua en $a$, diem que té una discontinuïtat en $a$.

### 3.1 Classificació

1. **Discontinuïtat evitable (removable):** existeix $\lim_{x\to a} f(x)=L$ però $f(a)$ no existeix o $f(a)\neq L$. - Es pot arreglar definint $f(a)=L$.

2. **Discontinuïtat de salt:** existeixen els límits laterals i són finits però diferents: $$\lim_{x\to a^-} f(x) \neq \lim_{x\to a^+} f(x).$$

3. **Discontinuïtat infinita:** algun límit lateral és $\pm\infty$ (asímptota vertical).

4. **Discontinuïtat essencial o oscil·latòria:** els límits laterals no existeixen per oscil·lació. Exemple típic: $f(x)=\sin(1/x)$ en $x\to 0$.

### 3.2 Exemples pedagògics

- $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ per $x\neq 1$ i no definida a 1: evitable (límit = 2). - Funció esglaonada: salts. - $1/x$ a 0: infinita.

## 4. Algebra de funcions contínues

Si $f$ i $g$ són contínues en $a$, llavors també ho són:

- $f+g$, $f-g$ - $fg$ - $\frac{f}{g}$ si $g(a)\neq 0$ - $|f|$, $f^n$ (si $n\in\mathbb{N}$)

**Composició:** si $f$ és contínua en $a$ i $g$ és contínua en $f(a)$, llavors $g\circ f$ és contínua en $a$.

**Conseqüència:** Les funcions polinòmiques són contínues a tot arreu; les racionals ho són on el denominador no s'anul·la; $\exp$, $\ln$ (on definida), trigonomètriques, etc.

## 5. Teoremes fonamentals en intervals

### 5.1 Teorema de Bolzano (existència d'arrels)

Si $f$ és contínua en $[a,b]$ i $f(a)f(b)<0$, llavors existeix $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$.

**Interpretació:** una funció contínua que canvia de signe ha de tallar l'eix.

**Aplicació numèrica:** mètode de bisecció per trobar zeros.

### 5.2 Teorema del valor intermedi (TVI)

Si $f$ és contínua en $[a,b]$ i $y$ és un valor entre $f(a)$ i $f(b)$, aleshores existeix $c\in[a,b]$ amb $f(c)=y$.

**Nota:** Bolzano és un cas particular amb $y=0$.

### 5.3 Teorema de Weierstrass (extrems)

Si $f$ és contínua en un compacte $[a,b]$, llavors: - $f$ és acotada - existeixen $x_m, x_M\in[a,b]$ tals que: $$f(x_m)=\min_{[a,b]} f,\qquad f(x_M)=\max_{[a,b]} f.$$

**Important:** sense compacitat (interval obert), el màxim o mínim pot no existir.

### 5.4 Continuïtat i inversa

Si $f$ és contínua i estrictament monòtona en $[a,b]$, llavors és bijectiva sobre la seva imatge i l'inversa $f^{-1}$ és contínua sobre $f([a,b])$.

**Idea de demostració:** usar el TVI i la monotonia per controlar l'oscil·lació.

## 6. Continuïtat uniforme

### 6.1 Definició

$f$ és **uniformement contínua** en $D$ si: $$\forall \varepsilon>0\,\exists \delta>0: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon,\quad \forall x,y\in D.$$

És més forta que la continuïtat puntual: el mateix $\delta$ serveix per a tots els punts.

### 6.2 Exemples

- $f(x)=x^2$ és contínua a $\mathbb{R}$ però **no** uniformement contínua a $\mathbb{R}$. - $f(x)=x^2$ és uniformement contínua a $[0,1]$ (compacte).

### 6.3 Teorema de Heine-Cantor

Si $f$ és contínua en un compacte $[a,b]$, llavors és uniformement contínua.

Conseqüència: en un interval tancat, una funció contínua no pot oscil·lar "massa" en zones petites.

## 7. Caràcter seqüencial i criteris

**Criteri seqüencial:** $f$ és contínua en $a$ si i només si per a tota successió $x_n\to a$ (amb $x_n\in D$) es compleix: $$f(x_n)\to f(a).$$

**Aplicació:** per demostrar discontinuïtat, n'hi ha prou de trobar dues successions $x_n\to a$ i $y_n\to a$ amb límits diferents $f(x_n)$ i $f(y_n)$.

Exemple: $f(x)=\sin(1/x)$ a 0 no té límit perquè podem triar $x_n=\frac{1}{\pi/2+2\pi n}$ i $y_n=\frac{1}{3\pi/2+2\pi n}$, amb $f(x_n)=1$ i $f(y_n)=-1$.

## 8. Funcions contínues i conjunts

- La preimatge d'un obert per una funció contínua és oberta. - La preimatge d'un tancat és tancada.

En $\mathbb{R}$ això connecta amb intervals: - Si $f$ és contínua, $f^{-1}((\alpha,\beta))$ és obert.

## 9. Aplicacions

### 9.1 Cerca de zeros

El mètode de bisecció garanteix convergència si $f$ és contínua i hi ha canvi de signe.

### 9.2 Problemes d'optimització

Weierstrass garanteix existència de màxim/minim en $[a,b]$; després s'usa derivació per localitzar-los.

### 9.3 Modelització

Continuïtat significa que petits errors d'entrada produeixen petits errors de sortida (estabilitat).

## 10. Aplicacions Didàctiques

- Visualitzar discontinuïtats amb gràfiques i definicions laterals. - Treballar teoremes (Bolzano, TVI) amb exemples i contraexemples (intervals oberts, funcions no contínues). - Connectar amb resolució numèrica (bisecció) i amb derivades (extrems).

## 11. Conclusions

La continuïtat és el pont entre la intuïció geomètrica i el rigor analític. Els teoremes de Bolzano, valor intermedi i Weierstrass són pilars per a l'existència de solucions i extrems. La continuïtat uniforme, garantida en compactes, és essencial per a resultats més fins i per a control d'errors.