T6. Successió de nombres reals. Propietats

Desarrollo del tema

# Successions de Nombres Reals. Propietats

## Introducció

En l'anàlisi matemàtica, el concepte de successió és fonamental. Una successió ens permet estudiar el comportament de col·leccions infinites i ordenades de nombres, la qual cosa és la base per a la definició de conceptes tan crucials com la convergència, les sèries, la continuïtat de funcions i el càlcul diferencial i integral.

## 1. Definició Formal de Successió

Una **successió de nombres reals** és, formalment, una aplicació del conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$ al conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$:

$$a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto a_n$$

A cada nombre natural $n \in \mathbb{N}$ (l'índex) li correspon un únic nombre real $a_n$ (el **terme n-èsim** o **terme general**).

La successió es representa com $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(a_n)$, o llistant els termes: $a_1, a_2, a_3, \ldots$

**Exemples:** - **Successió constant:** $a_n = 3 \Rightarrow (3, 3, 3, \ldots)$ - **Nombres parells:** $a_n = 2n \Rightarrow (2, 4, 6, 8, \ldots)$ - **Successió harmònica:** $a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots)$ - **Successió alternada:** $a_n = (-1)^n \Rightarrow (-1, 1, -1, 1, \ldots)$

## 2. Propietats: Monotonia

Una successió $(a_n)$ és: - **Creixent** si $a_n \le a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$ - **Estrictament creixent** si $a_n < a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$ - **Decreixent** si $a_n \ge a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$ - **Estrictament decreixent** si $a_n > a_{n+1}$ per a tot $n \in \mathbb{N}$ - **Monòtona** si és creixent o decreixent

**Exemples:** - $a_n = n^2$ és estrictament creixent - $a_n = \frac{1}{n}$ és estrictament decreixent - $a_n = (-1)^n$ no és monòtona

## 3. Propietats: Fitació

Una successió $(a_n)$ és: - **Fitada superiorment** si $\exists K \in \mathbb{R}: a_n \le K, \forall n$ - **Fitada inferiorment** si $\exists k \in \mathbb{R}: a_n \ge k, \forall n$ - **Fitada** si és fitada superiorment i inferiorment, equivalent a $\exists M > 0: |a_n| \le M, \forall n$

**Exemples:** - $a_n = \frac{1}{n}$ és fitada ($0 < a_n \le 1$) - $a_n = n^2$ és fitada inferiorment però no superiorment - $a_n = \sin(n)$ és fitada ($|a_n| \le 1$)

## 4. Límit d'una Successió (Definició ε-N)

**Definició:** Diem que $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ si i només si:

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$

**Interpretació:** - Per a qualsevol tolerància $\varepsilon$ (per petita que sigui) - Existeix un índex $N$ a partir del qual - Tots els termes $a_n$ estan a distància menor que $\varepsilon$ de $L$ - És a dir, $a_n \in (L-\varepsilon, L+\varepsilon)$

**Exemple:** Demostrem que $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$

$$\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} < \varepsilon$$

Es compleix si $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Prenem $N > \frac{1}{\varepsilon}$.

## 5. Successions Convergents i Divergents

- **Convergent:** Si $\exists L \in \mathbb{R}: \lim_{n \to \infty} a_n = L$

- **Divergent:** Si no és convergent. Tipus: - **A $+\infty$:** $\forall M > 0, \exists N: n \ge N \Rightarrow a_n > M$ - **A $-\infty$:** $\forall M < 0, \exists N: n \ge N \Rightarrow a_n < M$ - **Oscil·lant:** Fluctua sense convergir (ex: $a_n = (-1)^n$)

## 6. Teoremes Fonamentals

### Unicitat del Límit Si $(a_n)$ convergeix, el límit és únic.

**Demostració:** Per reducció a l'absurd. Si $L_1 \ne L_2$ fossin límits, amb $\varepsilon = \frac{|L_1-L_2|}{2}$: $$|L_1 - L_2| \le |L_1 - a_n| + |a_n - L_2| < 2\varepsilon = |L_1 - L_2|$$ Contradicció.

### Àlgebra de Límits Si $\lim a_n = L$ i $\lim b_n = M$: - $\lim (a_n \pm b_n) = L \pm M$ - $\lim (k \cdot a_n) = k \cdot L$ - $\lim (a_n \cdot b_n) = L \cdot M$ - $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}$ (si $M \ne 0$)

### Successions Monòtones Fitades **Teorema:** Tota successió monòtona i fitada és convergent.

- Si $(a_n)$ és creixent i fitada superiorment: $\lim a_n = \sup\{a_n\}$ - Si $(a_n)$ és decreixent i fitada inferiorment: $\lim a_n = \inf\{a_n\}$

Aquest teorema utilitza la **completesa dels reals** (axioma del suprem).

## 7. Subsuccessions

Una **subsuccessió** de $(a_n)$ és $(a_{n_k})$ on $n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$

**Propietat:** Si $\lim a_n = L$, aleshores $\lim a_{n_k} = L$ per a tota subsuccessió.

**Contrarecíproc:** Si existeixen dues subsuccessions amb límits diferents, la successió no convergeix.

**Exemple:** $a_n = (-1)^n$ - Subsuccessió parella: $a_{2k} = 1 \to 1$ - Subsuccessió senar: $a_{2k-1} = -1 \to -1$ - Com que $1 \ne -1$, $(a_n)$ no convergeix.

## 8. Teorema de Bolzano-Weierstrass

**Teorema:** Tota successió fitada de nombres reals té, com a mínim, una subsuccessió convergent.

Aquest teorema és conseqüència de la completesa de $\mathbb{R}$ i és fonamental per a l'anàlisi real.

**Exemple:** $a_n = (-1)^n$ és fitada però no convergent. El teorema garanteix subsuccessions convergents (com les parelles i senars trobades abans).

## 9. Límits Notables

Alguns límits fonamentals per al càlcul:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0)$$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0)$$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$$

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \quad (\forall a \in \mathbb{R})$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$$

## 10. Criteris Auxiliars

### Criteri del Sandwich (Enquadrat) Si $a_n \le b_n \le c_n$ i $\lim a_n = \lim c_n = L$, aleshores $\lim b_n = L$.

### Criteri de Stolz Per a indeterminacions $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$: Si $(b_n)$ és estrictament creixent i no fitada, i existeix: $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L$$ Aleshores $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$.